2009-2010学年四川省南充高中高三（下）5月月考数学试卷（理科）（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

已知复数，则z所对应的点位于复平面的（ ）
A．第一象限
B．第二象限
C．第三象限
D．第四象限

2. 难度：中等

函数y=的大致图象是（ ）
A．
B．
C．
D．

3. 难度：中等

设函数f（x）在x=1处连续，且=2则f（1）等于（ ）
A．-1
B．0
C．1
D．2

4. 难度：中等

过空间一定点P的直线中，与长方体ABCD-A₁B₁C₁D₁的12条棱所在直线成等角的直线共有（ ）
A．0条
B．1条
C．4条
D．无数条

5. 难度：中等

已知向量满足，，则向量在向量方向上的投影是（ ）
A．
B．1
C．
D．-1

6. 难度：中等

已知椭圆左焦点是F₁，右焦点是F₂，右准线是l，P是l上一点，F₁P与椭圆交于点Q，满足，则|QF₂|等于（ ）
A．
B．
C．
D．

7. 难度：中等

已知球O的半径为2cm，A、B、C为球面上三点，A与B、B与C的球面距离都是πcm，A与C的球面距离为cm，那么三棱锥O-ABC的体积为（ ）
A．cm³
B．cm³
C．cm³
D．cm³

8. 难度：中等

已知有穷数列{a_n}（n=1，2，3，…，6）满足a_n∈{1，2，3，…，10}，且当i≠j（i，j=1，2，3，…，6）时，a_i≠a_j．若a₁＞a₂＞a₃，a₄＜a₅＜a₆，则符合条件的数列{a_n}的个数是（ ）
A．C₁₀³C₇³
B．C₁₀³C₁₀³
C．C₁₀³C₇³
D．C₁₀⁶C₆³

9. 难度：中等

若存在过点（1，0）的直线与曲线y=x³和都相切，则a等于（ ）
A．-1或
B．-1或
C．或
D．或7

10. 难度：中等

.已知a，b∈R，若关于x的方程x²-ax+b=0的实根x₁和x₂满足-1≤x₁≤1，1≤x₂≤2，则在平面直角坐标系aOb中，点（a，b）所表示的区域内的点P到曲线（a+3）²+（b-2）²=1上的点Q的距离|PQ|的最小值为（ ）
A．3-1
B．2-1
C．3+1
D．2+1

11. 难度：中等

如图正六边形ABCDEF中，AC∥y轴．从六个顶点中任取三点，使这三点能确定一条形如y=ax²+bx+c（a≠0）的抛物线的概率是（ ）

A．
B．
C．
D．

12. 难度：中等

已知定义域为R的函数y=f（x）满足f（-x）=-f（x+4），当x＞2时，f（x）单调递增，若x₁+x₂＜4且（x₁-2）（x₂-2）＜0，则f（x₁）+f（x₂）的值（ ）
A．恒大于0
B．恒小于0
C．可能等于0
D．可正可负

二、填空题

13. 难度：中等

设等比数列{a_n}的前n项和为S_n，且a₅=S₅，则=    ．

14. 难度：中等

我校在上次摸考中约有1000人参加考试，数学考试的成绩ξ～N（90，a²）（a＞0，试卷满分150分），统计结果显示数学考试成绩在70分到110分之间的人数约为总人数的，则此次数学考试成绩不低于110分的学生约有     人．

15. 难度：中等

设曲线在点处的切线与直线2x-y-8=0平行，则a=    ．

16. 难度：中等

给出下列命题：
①函数f（x）=sinx+|sinx|（x∈R）的最小正周期是2π；
②已知函数在x=0处连续，则a=-1；
③函数y=f（x）与y=1-f^-1（1-x）的图象关于直线x+y+1=0对称；
④将函数的图象按向量平移后，与函数的图象重合，则ω的最小值为，你认为正确的命题有：    ．

三、解答题

17. 难度：中等

已知函数f（x）=2asinωxcosωx+b（2cos²ωx-1）（ω＞0）在时取最大值2．x₁，x₂是集合M={x∈R|f（x）=0}中的任意两个元素，|x₁-x₂|的最小值为．
（I）求a、b的值；
（II）若，求的值．

18. 难度：中等

为保护水资源，宣传节约用水，某校4名志愿者准备去附近的甲、乙、丙三家公园进行宣传活动，每名志愿者都可以从三家公园中随机选择一家，且每人的选择相互独立．
（1）求4人恰好选择了同一家公园的概率；
（2）设选择甲公园的志愿者的人数为X，试求X的分布列及期望．

19. 难度：中等

如图，四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是直角梯形，∠DAB=90°，AD∥BC，AD⊥侧面PAB，△PAB是等边三角形，DA=AB=2，BC=AD，E是线段AB的中点．
（Ⅰ）求证：PE⊥CD；
（Ⅱ）求四棱锥P-ABCD的体积；
（Ⅲ）求PC与平面PDE所成角的正弦值．

20. 难度：中等

已知函数f（x）=aln（x+1）+（x+1）²，其中，a为实常数且a≠0．
（Ⅰ）求f（x）的单调增区间；
（Ⅱ）若对任意x∈（-1，+∞）恒成立，求实数a的取值范围．

21. 难度：中等

直角三角形ABC中，∠C=90°，B、C在x轴上且关于原点O对称，D在边BC上，BD=3DC，△ABC的周长为12．若一双曲线E以B、C为焦点，且经过A、D两点．
（1）求双曲线E的方程；
（2）若一过点P（3，0）的直线l与双曲线E相交于不同于双曲线顶点的两点M、N，且，问在x轴上是否存在定点G，使？若存在，求出所有这样定点G的坐标；若不存在，请说明理由．

22. 难度：中等

设数列{a_n}，{b_n}满足：a₁=4，a₂=，，．
（1）用a_n表示a_n+1；并证明：∀n∈N₊，a_n＞2；
（2）证明：是等比数列；
（3）设S_n是数列{a_n}的前n项和，当n≥2时，S_n与是否有确定的大小关系？若有，加以证明；若没有，请说明理由．