2010年江苏省扬州中学高考数学四模试卷（解析版）

一、填空题

1. 难度：中等

集合A={3，2^a}，B={a，b}，若A∩B={2}，则A∪B=    ．

2. 难度：中等

在复平面内，复数对应的点到直线y=x+1的距离是    ．

3. 难度：中等

已知函数则的值是    ．

4. 难度：中等

在△ABC，A=60°，BC=2，，则△ABC的形状为    ．

5. 难度：中等

若方程lnx+2x-10=0的唯一解为x，且x∈（k，k+1），k∈N，则k=    ．

6. 难度：中等

已知a、b、c是直线，α是平面，给出下列命题：
①若a∥b，b⊥c，则a⊥c；②若a⊥b，b⊥c，则a∥c；
③若a∥α，b⊂α，则a∥b；④若a⊥α，b⊂α，则a⊥b；
⑤若a与b异面，则至多有一条直线与a、b都垂直．
其中真命题是    ．（把符合条件的序号都填上）

7. 难度：中等

设=（1，-2），=（a，-1），=（-b，0），a＞0，b＞0，O为坐标原点，若A、B、C三点共线，则+的最小值是    ．

8. 难度：中等

若数列{a_n}的通项公式，记f（n）=（1-a₁）（1-a₂）…（1-a_n），试通过计算f（1），f（2），f（3）的值，推测出f（n）=    ．

9. 难度：中等

在同一平面直角坐标系中，已知函数y=f（x）的图象与y=e^x的图象关于直线y=x对称，则函数y=f（x）对解析式为     ；其应的曲线在点（e，f（e））处的切线方程为     ．

10. 难度：中等

如图，在△ABC中，∠CAB=∠CBA=30°，AC、BC边上的高分别为BD、AE，则以A、B为焦点，且过D、E的椭圆与双曲线的离心率的倒数和为     ．

11. 难度：中等

如果执行下面的程序框图，那么输出的S值为    ．

12. 难度：中等

定义：关于x的两个不等式f（x）＜0和g（x）＜0的解集分别为（a，b）和，则称这两个不等式为对偶不等式．如果不等式与不等式2x²+4xsin2θ+1＜0为对偶不等式，且，则θ=    ．

13. 难度：中等

已知函数f（x）=x³+ax²-bx（a，b∈R），若y=f（x）在区间[-1，2]上是单调减函数，则b-a的最小值为     ．

14. 难度：中等

已知连续2n+1（n∈N^*）个正整数总和为a，且这些数中后n个数的平方和与前n个数的平方和之差为b．若，则n的值为    ．

二、解答题

15. 难度：中等

某校从参加高一年级期中考试的学生中随机抽取60名学生，将其数学成绩（均为整数）分成六段[40，50），[50，60）…[90，100]后得到如下部分频率分布直方图．观察图形的信息，回答下列问题：
（Ⅰ）求分数在[70，80）内的频率，并补全这个频率分布直方图；
（Ⅱ）统计方法中，同一组数据常用该组区间的中点值作为代表，据此估计本次考试的平均分；
（Ⅲ）用分层抽样的方法在分数段为[60，80）的学生中抽取一个容量为6的样本，将该样本看成一个总体，从中任取2人，求至多有1人在分数段[70，80）的概率．

16. 难度：中等

已知向量=（sina，cosa），=（6sina+cosa，7sina-2cosa），设函数f（a）=•．
（1）求函数f（a）的最大值；
（2）在锐角三角形ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，f（A）=6，且△ABC的面积为3，b+c=2+3，求a的值．

17. 难度：中等

如图，棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁的所有棱长都等于2，∠ABC和∠A₁B₁C₁均为60°，平面AA₁C₁C⊥平面ABCD．
（I）求证：BD⊥AA₁
（II）求二面角D-AA₁-C的余弦值；
（III）在直线CC₁上是否存在点P，使BP∥平面DA₁C₁，若存在，求出点P的位置，若不存在，请说明理由．

18. 难度：中等

如图，已知圆O：x²+y²=2交x轴于A、B两点，P在圆O上运动（不与A、B重合），过P作直线l₁，OS垂直于l₁交直线l₂：x=-3于点S．
（1）求证：“如果直线l₁过点T（-1，0），那么”为真命题；
（2）写出（1）中命题的逆命题，判断它是真命题还是假命题，并说明理由．

19. 难度：中等

已知等比数列{a_n}的前n项和为S_n，且点P_n（a_n+1，S_n）（n∈N^*）在函数f（x）=x+1的图象上．
（1）求a₁的值；
（2）若数列{b_n}满足：，且b₂=5．求数列{b_n}的通项公式．

20. 难度：中等

设f（x）=x²+bx+c（b、c∈R）．
（1）若f（x）在[-2，2]上不单调，求b的取值范围；
（2）若f（x）≥|x|对一切x∈R恒成立，求证：b²+1≤4c；
（3）若对一切x∈R，有，且的最大值为1，求b、c满足的条件．

21. 难度：中等

如图，设AB为⊙O的任一条不与直线l垂直的直径，P是⊙O与l的公共点，AC⊥l，BD⊥l，垂足分别为C，D，且PC=PD，求证：
（1）l是⊙O的切线；
（2）PB平分∠ABD．

22. 难度：中等

加试题：口袋中有n（n∈N^*）个白球，3个红球．依次从口袋中任取一球，如果取到红球，那么继续取球，且取出的红球不放回；如果取到白球，就停止取球．记取球的次数为X．若，求：
（1）n的值；
（2）X的概率分布与数学期望．

23. 难度：中等

加试题：已知曲线，过P₁（1，0）作y轴的平行线交曲线C于Q₁，过Q₁作曲线C的切线与x轴交于P₂，过P₂作与y轴平行的直线交曲线C于Q₂，照此下去，得到点列P₁，P₂，…，和Q₁，Q₂，…，设，．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）求证：b₁+b₂+…+b_n＞2ⁿ-2^-n；
（3）求证：曲线C与它在点Q_n处的切线，以及直线P_n+1Q_n+1所围成的平面图形的面积与正整数n的值无关．