2013年山西省太原市高考数学一模试卷（文科）（解析版）

一、解答题

1. 难度：中等

选修4一1：几何证明选讲
如图，⊙O的直径AB的延长线与弦CD的延长线相交于点P．E为⊙O上一点，，DE交AB于点F．
（I）证明：DF•EF=OF•FP；
（II）当AB=2BP时，证明：OF=BF．

2. 难度：中等

在直角坐标系中，以原点为极点，x轴的正半轴为极轴建坐标系，已知曲线C：ρsin²θ=2acosθ（a＞0），已知过点P（-2，-4）的直线L的参数方程为：，直线L与曲线C分别交于M，N．
（Ⅰ）写出曲线C和直线L的普通方程；    
（Ⅱ）若|PM|，|MN|，|PN|成等比数列，求a的值．

3. 难度：中等

已知函数f（x）=|2x+1|+|2x-3|．
（Ⅰ）求不等式f（x）≤6的解集；
（Ⅱ）若关于x的不等式f（x）＜|a-1|的解集非空，求实数a的取值范围．

二、选择题

4. 难度：中等

复数的共轭复数为（ ）
A．
B．
C．
D．

5. 难度：中等

已知集合A={y|y=log₂x，x≥1}，B={y|y=，x＞1}则A∩B=（ ）
A．[0.1）
B．[0，1]
C．（0，1）
D．（0，1]

6. 难度：中等

下列说法正确的是（ ）
A．若命题 p与q都是真命题，则命题“p∧p”为真命题
B．命题“若xy=0，则x=0或y=0”的否命题为“若xy≠0，则x≠0或y≠0”
C．命题“∀x∈R，2^x＞0”的否定是“∃x∈R，2^xo≥0”
D．“x=-1”是“x²-5x一6=0”的必要不充分条件

7. 难度：中等

下列函数中，在（0，1）上单调递减的是（ ）
A．y=
B．y=（x+1）²
C．y=x
D．y=2^x+1

8. 难度：中等

一个四棱锥的底面为正方形，其三视图如图所示，则这个四棱锥的体积是（ ）
A．1
B．2
C．3
D．4

9. 难度：中等

执行如图所示的程序框图，若输出的b的值为16，则图中判断框内①处应填（ ）
A．4
B．3
C．2
D．5

10. 难度：中等

已知数列{a_n}的通项公式为a_n=（n∈N⁺），其前n项和S_n=，则直线与坐标轴所围成三角形的面积为（ ）
A．36
B．45
C．50
D．55

11. 难度：中等

已知函数f（x）=log₂x，若在[1，4]上随机取一个实数x，则使得f（x）≥1成立的概率为（ ）
A．
B．
C．
D．

12. 难度：中等

函数f（x）=sin（ωx+φ）（）的最小正周期是π，若其图象向右平移个单位后得到的函数为奇函数，则函数f（x）的图象（ ）
A．关于点对称
B．关于点对称
C．关于直线对称
D．关于直线对称

13. 难度：中等

若实数x，y满足不等式组且x+y的最大值为9，则实数m=（ ）
A．-2
B．-1
C．1
D．2

14. 难度：中等

定义在R上的函数f（x）满足f（x）=f（5-x），且，已知x₁＜x₂，x₁+x₂＜5，则（ ）
A．f（x₁）＜f（x₂）
B．f（x₁）＞f（x₂）
C．f（x₁）+f（x₂）＜0
D．f（x₁）+f（x₂）＞0

15. 难度：中等

已知函数f（x）=，若数列{a_n}满足a_n=f（n）（n∈N^﹡），且{a_n}是递增数列，则实数a的取值范围是（ ）
A．[，3）
B．（，3）
C．（2，3）
D．（1，3）

三、填空题

16. 难度：中等

已知向量，满足，（-）⊥，向量与的夹角为    ．

17. 难度：中等

已知a∈R，函数 f（x）=x³+ax²+（a-3）x的导函数是偶函数，则曲线y=f（x）在原点处的切线方程为    ．

18. 难度：中等

已知抛物线y²=2px（p＞0）的焦点F为双曲线的一个焦点，经过两曲线交点的直线恰过点F，则该双曲线的离心率为    ．

19. 难度：中等

在三棱锥P-ABC中，△ABC是边长为2的正三角形，PA=PB=PC．且PA，PB，PC两两互相垂直，则三棱锥P-ABC外接球的表面积为    ．

四、解答题

20. 难度：中等

在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足（2c-a）cosB-bcosA=0．
（Ⅰ）若b=7，a+c=13求此三角形的面积；
（Ⅱ）求的取值范围．

21. 难度：中等

为了解某校高三毕业班报考体育专业学生的体重（单位：千克）情况，将他们的体重数据整理后得到如下频率分布直方图．已知图中从左至右前3个小组的频率之比为1：2：3，其中第2小组的频数为12．
（I）求该校报考体育专业学生的总人数n；
（Ⅱ）已知A，a是该校报考体育专业的两名学生，A的体重小于55千克，a的体重不小于70千克．现从该校报考体育专业的学生中选取体重小于55千克的学生1人、体重不小于70千克的学生2人组成3人训练组，求A不在训练组且a在训练组的概率．

22. 难度：中等

已知斜三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，∠ACB=90°，AC=BC=2，点D为AC的中点，A₁D⊥平面ABC，A₁B⊥AC_l
（I）求证：AC₁⊥A_lC；
（Ⅱ）求三棱锥C_l-ABC的体积．

23. 难度：中等

已知椭圆的离心率为，点F₁，F₂分别是椭圆C的左，右焦点，以原点为圆心，椭圆C的短半轴为半径的圆与直线 x-y+=0相切．
（I）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）若过点F₂的直线l与椭圆C相交于点M，N两点，求使△F_l MN面积最大时直线l的方程．

24. 难度：中等

已知函数f（x）=1nx-x．
（I）若不等式 xf（x）≥-2x²+ax-12对一切x∈（0，+∞）恒成立，求实数a的取值范围
（Ⅱ）若关于x的方程 f（x）-x³+2ex²-bx=0恰有一解（e为自然对数的底数），求实数b的值．