2006年重庆市渝东片区高考数学二模试卷（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

若P（2，-1）为圆（x-1）²+y²=25的弦AB的中点，则直线AB的方程是（ ）
A．x-y-3=0
B．2x+y-3=0
C．x+y-1=0
D．2x-y-5=0

2. 难度：中等

设复数，那么等于（ ）
A．
B．
C．
D．

3. 难度：中等

在△ABC中，lgsinA，lgsinB，lgsinC成等差数列，是三边a，b，c成等比数列的（ ）
A．充分非必要条件
B．必要非充分条件
C．充要条件
D．既不充分又不必要条件

4. 难度：中等

已知f（x）是定义在R的奇函数，当x＜0时，f（x）=（）^x，那么f^-1（0）+f^-1（-8）的值为（ ）
A．2
B．3
C．-3
D．-2

5. 难度：中等

，是平面直角坐标系（坐标原点为O）内分别与x轴、y轴正方向相同的两个单位向量，且=4+2，=3+4，则△OAB的面积等于（ ）
A．15
B．10
C．7.5
D．5

6. 难度：中等

在直二面角α-l-β中，直线a⊂α，直线b⊂β，a，b与l斜交，则（ ）
A．a不和b垂直，但可能a∥b
B．a可能和b垂直，也可能a∥b
C．a不和b垂直，a也不和b平行
D．a不和b平行，但可能a⊥b

7. 难度：中等

若抛物线的顶点坐标是M（1，0），准线l的方程是x-2y-2=0，则抛物线的焦点坐标为（ ）
A．（，）
B．（，）
C．（，）
D．（，）

8. 难度：中等

某商店计划投入资金20万元经销甲或乙两种商品，已知经销甲商品与乙商品所获得的总利润分别为P和Q（万元），且它们与投入资金x（万元）的关系是：P=，Q=（a＞0）；若不管资金如何投放，经销这两种商品或其中之一种所获得的利润总不小于5万元，则a的最小值应为（ ）
A．
B．
C．5
D．

9. 难度：中等

如果消息A发生的概率为P（A），那么消息A所含的信息量为．若王教授正在一个有4排8列座位的小型报告厅里听报告，则发布的以下4条消息中，信息量最大的是（ ）
A．王教授在第4排
B．王教授在第4排第5列
C．王教授在第5列
D．王教授在某一排

10. 难度：中等

已知P是正四面体S-ABC的面SBC上一点，P到面ABC的距离与到点S的距离相等，则动点P的轨迹所在的曲线是（ ）
A．圆
B．椭圆
C．双曲线
D．抛物线

二、填空题

11. 难度：中等

已知定义在区间[0，3]上的函数f（x）=kx²-2kx的最大值为3，那么实数k的取值范围为     ．

12. 难度：中等

2005年10月12日，第五届亚太城市市长峰会在重庆会展中心隆重开幕．会议期间，为满足会议工作人员的需要，某宾馆将并排的4个房间安排给4个工作人员临时休息．假定每个人可以进入任一房间，且进入各个房间是等可能的，则每个房间恰好进去1人的概率是    ．

13. 难度：中等

已知的展开式中含x⁴项的系数为30，则正实数a的值为    ．

14. 难度：中等

若|a|＜2，则=    ．

15. 难度：中等

如果函数f（x）满足：对任意实数a，b都有f（a+b）=f（a）f（b），且f（1）=2，则++++…+=    ．

16. 难度：中等

设函数f（x）的定义域为R．若存在与x无关的正常数M，使|f（x）|≤M|x|对一切实数x均成立，则称f（x）为有界泛函．在函数：
①f（x）=-3x，
②f（x）=x²，
③f（x）=sin²x，
④f（x）=2^x，
⑤f（x）=xcosx
中，属于有界泛函的有    ．（填上所有正确的番号）

三、解答题

17. 难度：中等

已知函数．
（1）求函数f（x）的定义域和值域；
（2）求函数f（x）的单调递增区间．

18. 难度：中等

用一枚质地均匀的硬币，甲、乙两人做抛掷硬币游戏，甲抛掷4次，记正面向上的次数为ξ；乙抛掷3次，记正面向上的次数为η．
（Ⅰ）分别求ξ和η的期望；
（Ⅱ）规定：若ξ＞η，则甲获胜；否则，乙获胜．求甲获胜的概率．

19. 难度：中等

设x₁，x₂是函数f（x）=（a＞0）的两个极值点，且|x₁|+|x₂|=2．
（Ⅰ）证明：0＜a≤1；
（Ⅱ）证明：|b|≤．

20. 难度：中等

如图，在长方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AD=AA₁=1，AB=2，点E在棱AB上移动．
（1）证明：D₁E⊥A₁D；
（2）当E为AB的中点时，求点E到面ACD₁的距离；
（3）AE等于何值时，二面角D₁-EC-D的大小为．

21. 难度：中等

若F₁F₂为双曲线-=1的左右焦点，O为坐标原点，P在双曲线左支上，M在右准线上，且满足=，=
（1）求此双曲线的离心率；
（2）若此双曲线过点N（2，），求双曲线方程；
（3）设（2）中双曲线的虚轴端点为B₁，B₂（B₁在y轴正半轴上），求B₂作直线AB与双曲线交于A B两点，求⊥时，直线AB的方程．

22. 难度：中等

如图，将圆分成n个区域，用3种不同颜色给每一个区域染色，要求相邻区域颜色互异，把不同的染色方法种数记为a_n．求
（Ⅰ）a₁，a₂，a₃，a₄；
（Ⅱ）a_n与a_n+1（n≥2）的关系式；
（Ⅲ）数列{a_n}的通项公式a_n，并证明a_n≥2n（n∈N^*）．