2012-2013学年浙江省一级重点中学（六校）高三第一次联考数学试卷（理科）（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

设集合P={y|y=k，k∈R}，Q={y|y=a^x+1，a＞0且a≠1，k∈R}，若集合P∩Q只有一个子集，则k的取值范围是（ ）
A．（-∞，1）
B．（-∞，1]
C．（1，+∞）
D．[1，+∞）

2. 难度：中等

设a，b为实数，若复数，则（ ）
A．
B．a=3，b=1
C．
D．a=1，b=3

3. 难度：中等

设m，n是空间两条直线，α，β是空间两个平面，则下列选项中不正确的是（ ）
A．当n⊥α时，“n⊥β”是“α∥β”成立的充要条件
B．当m⊂α时，“m⊥β”是“α⊥β”的充分不必要条件
C．当m⊂α时，“n∥α”是“m∥n”必要不充分条件
D．当m⊂α时，“n⊥α”是“m⊥n”的充分不必要条件

4. 难度：中等

阅读下面程序框图，则输出结果s的值为（ ）

A．
B．
C．
D．

5. 难度：中等

函数f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞），|φ|＜）的部分图象如图示，则将y=f（x）的图象向右平移个单位后，得到的图象解析式为（ ）

A．y=sin2
B．y=cos2
C．y=sin（2x+）
D．y=sin（2x-）

6. 难度：中等

在的展开式中，x的幂的指数是整数的有（ ）
A．3项
B．4项
C．5项
D．6项

7. 难度：中等

已知{a_n} 为等比数列，a₄+a₇=2，a₅a₆=-8，则a₁+a₁₀=（ ）
A．7
B．5
C．-5
D．-7

8. 难度：中等

已知实数x，y满足，且目标函数z=2x+y的最大值为6，最小值为1，其中b≠0，则的值为（ ）
A．4
B．3
C．2
D．1

9. 难度：中等

在△ABC中，（）⊥，则角A的最大值为（ ）
A．
B．
C．
D．

10. 难度：中等

一个棱长为6的正四面体纸盒内放一个正方体，若正方体可以在纸盒内任意转动，则正方体棱长的最大值为（ ）
A．2
B．3
C．1
D．

二、填空题

11. 难度：中等

某几何体的三视图如图所示，根据图中标出的数据，则这个几何体的体积为    ．

12. 难度：中等

不等式，对满足a＞b＞c恒成立，则λ的取值范围    ．

13. 难度：中等

有两排座位，前排11个座位，后排12个座位．现在安排甲、乙2人就座，规定前排中间的3个座位不能坐，并且甲、乙不能左右相邻，则一共有不同安排方法多少种？    （用数字作答）．

14. 难度：中等

已知直线y=k（x-m）与抛物线y²=2px（p＞0）交于A，B两点，且OA⊥OB，又OD⊥AB于D，若动点D的坐标满足方程x²+y²-4x=0，则m=    ．

15. 难度：中等

在Rt△ABC中，AC=2，BC=2，已知点P是△ABC内一点，则的最小值是    ．

16. 难度：中等

函数f（x）=sin2x+2cos²x-，函数g（x）=mcos（2x-）-2m+3（m＞0），若存在x₁，x₂，使得f（x₁）=g（x₂）成立，则实数m的取值范围是    ．

17. 难度：中等

袋中装有大小、形状完全相同的m个红球和n个白球，其中m，n满足：m＞n＞1且m+n≤15，m，n∈N^*．已知从袋中任取2个球，取出的2个球是同色的概率等于取出的2个球是异色的概率．现从袋中任取2个球，设取到红球的个数为ξ，则ξ的期望Eξ=    ．

三、解答题

18. 难度：中等

在△ABC中，内角A，B，C对边的边长分别是a，b，c，已知．
（Ⅰ）若a=2，b=3，求△ABC的外接圆的面积；
（Ⅱ）若c=2，sinC+sin（B-A）=2sin2A，求△ABC的面积．

19. 难度：中等

已知数列{a_n}的前n项和为S_n，且a₁=，a_n+1=S_n+（n∈N^*，t为常数）．
（Ⅰ）若数列{a_n}为等比数列，求t的值；
（Ⅱ）若t＞-4，b_n=lga_n+1，数列{b_n}前n项和为T_n，当且仅当n=6时T_n取最小值，求实数t的取值范围．

20. 难度：中等

在直三棱柱（侧棱垂直底面）ABC-A₁B₁C₁中，AB=AC=1，∠BAC=90°．
（Ⅰ）若异面直线A₁B与B₁C₁所成的角为60°，求棱柱的高；
（Ⅱ）设D是BB₁的中点，DC₁与平面A₁BC₁所成的角为θ，当棱柱的高变化时，求sinθ的最大值．

21. 难度：中等

已知椭圆C：的离心率为，直线l过点A（4，0），B（0，2），且与椭圆C相切于点P．
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）是否存在过点A（4，0）的直线m与椭圆C相交于不同的两点M、N，使得36|AP|²=35|AM|•|AN|？若存在，试求出直线m的方程；若不存在，请说明理由．

22. 难度：中等

已知函数f（x）=lnx，g（x）=x²-bx（b为常数）．
（1）函数f（x）的图象在点（1，f（1））处的切线与g（x）的图象相切，求实数b的值；
（2）设h（x）=f（x）+g（x），若函数h（x）在定义域上存在单调减区间，求实数b 的取值范围；
（3）若b＞1，对于区间[1，2]上的任意两个不相等的实数x₁，x₂，都有|f（x₁）-f（x₂）|＞|g（x₁）-g（x₂）|成立，求b的取值范围．