2009年山东省济宁市高考数学一模试卷（文科）（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

“a=-2”是“复数z=（a²-4）+（a+1）i（a，b∈R）为纯虚数”的（ ）
A．充分非必要条件
B．必要非充分条件
C．充要条件
D．既非充分又非必要条件

2. 难度：中等

给出命题：“若α=，则tanα=1”．在它的逆命题、否命题、逆否命题这三个命题中，真命题个数（ ）
A．3
B．2
C．1
D．0

3. 难度：中等

已知，则的值为（ ）
A．-2
B．-1
C．1
D．2

4. 难度：中等

若点P（a，3）到直线4x-3y+1=0的距离为4，且该点在不等式2x+y＜3所表示的平面区域内，则a的值为（ ）
A．7
B．-7
C．3
D．-3

5. 难度：中等

一个几何体的三视图如图所示，其中正视图与侧视图都是边长为2的正三角形，则这个几何体的侧面积为（ ）

A．
B．2π
C．3π
D．4π

6. 难度：中等

若关于x的不等式ax-b＞0的解集是（1，+∞），则关于x的不等式的解集是（ ）
A．（-∞，-1）∪（2，+∞）
B．（-1，2）
C．（-1，2）
D．（-∞，1）∪（2，+∞）

7. 难度：中等

某校对高三年级的学生进行体检，现将高三男生的体重（单位：kg）数据进行整理后分成五组，并绘制频率分布直方图（如图所示）．根据一般标准，高三男生的体重超过65 kg属于偏胖，低于55 kg属于偏瘦．已知图中从左到右第一、第三、第四、第五小组的频率分别为0.25、0.20、0.10、0.05，第二小组的频数为400，则该校高三年级的男生总数和体重正常的频率分别为（ ）

A．1000，0.50
B．800，0.50
C．800，0.60
D．1000，0.60

8. 难度：中等

抛物线x=的焦点坐标为（ ）
A．（-）
B．（-a，0）
C．（）
D．（a，0）

9. 难度：中等

在数列{a_n}中，a_n+1=ca_n（c为非零常数），前n项和为S_n=3ⁿ+k，则实数k为（ ）
A．0
B．1
C．-1
D．2

10. 难度：中等

已知向量=（1，2），=（0，1），设=+k，=2-，若∥，则实数k的值为（ ）
A．
B．
C．
D．

11. 难度：中等

已知M是△ABC内的一点，且=2，∠BAC=30°，若△MBC，△MCA和△MAB的面积分别为，x，y，则+的最小值是（ ）
A．20
B．18
C．16
D．9

12. 难度：中等

已知函数f（x）=log₂（a-2^x）+x-2，若f（x）存在零点，则实数a的取值范围是（ ）
A．（-∞，-4]∪[4，+∞）
B．[1，+∞）
C．[2，+∞）
D．[4，+∞）

二、填空题

13. 难度：中等

已知sin（-x）=，则sin2x的值为     ．

14. 难度：中等

如果执行如图所示的程序，那么输出的值s=    ．

15. 难度：中等

已知数列2008，2009，1，-2008，-2009，…，这个数列的特点是从第二项起，每一项都等于它的前后两项之和，则这个数列的前2009项之和S₂₀₀₉等于     ．

16. 难度：中等

已知双曲线的左、右焦点分别为F₁、F₂，P是双曲线上的一点，若，则=    ．

三、解答题

17. 难度：中等

在△ABC中，a，b，c分别为角A、B、C的对边，且满足b²+c²-a²=bc．
（Ⅰ）求角A的值；
（Ⅱ）若a=，设角B的大小为x，△ABC的周长为y，求y=f（x）的最大值．

18. 难度：中等

已知关于x的一元二次方程x²-2（a-2）x-b²+16=0
（1）若a，b是一枚骰子掷两次所得到的点数，求方程有两正根的概率．
（2）若a∈[2，6]，b∈[0，4]，求方程没有实根的概率．

19. 难度：中等

如图，四边形ABCD为矩形，AD⊥平面ABE，AE=EB=BC=2，F为CE上的点，且BF⊥平面ACE．
（1）求证：AE⊥BE；
（2）求三棱锥D-AEC的体积；
（3）设M在线段AB上，且满足AM=2MB，试在线段CE上确定一点N，使得MN∥平面DAE．

20. 难度：中等

设同时满足条件：①（n∈N^*）；②b_n≤M（n∈N*，M是与n无关的常数）的无穷数列{b_n} 叫“特界”数列．
（Ⅰ）若数列{a_n} 为等差数列，S_n是其前n项和，a₃=4，S₃=18，求S_n；
（Ⅱ）判断（Ⅰ）中的数列{S_n}是否为“特界”数列，并说明理由．

21. 难度：中等

椭圆与直线x+y-1=0相交于P、Q两点，且（O为坐标原点）．
（Ⅰ）求证：等于定值；
（Ⅱ）当椭圆的离心率时，求椭圆长轴长的取值范围．

22. 难度：中等

已知函数f（x）=x³-ax²-3x（a∈R）．
（Ⅰ）若函数f（x）在区间[1，+∞）上为增函数，求实数a的取值范围；
（Ⅱ）若是函数f（x）的极值点，求函数f（x）在区间[1，a]上的最大值；
（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，是否存在实数b，使得函数g（x）=bx的图象与函数f（x）的图象恰有3个交点？若存在，请求出b的取值范围；若不存在，试说明理由．