2013年山东省泰安市高考数学一模试卷（理科）（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

已知集合A={-1，1}，B={x|1≤2^x＜4}，则A∩B等于（ ）
A．{-1，0，1}
B．{1}
C．{-1，1}
D．{0，1}

2. 难度：中等

复数（i为虚数单位）的模是（ ）
A．
B．
C．5
D．8

3. 难度：中等

如果随机变量ξ～N （-1，σ²），且P（-3≤ξ≤-1）=0.4，则P（ξ≥1）等于（ ）
A．0.1
B．0.2
C．0.3
D．0.4

4. 难度：中等

下列命题，其中说法错误的是（ ）
A．命题“若x²-3x-4=0，则x=4”的逆否命题为“若x≠4，则x²-3x-4≠0”
B．“x=4”是“x²-3x-4=0．”的充分条件
C．命题“若m＞0，则方程x²+x-m=0有实根”的逆命题为真命题
D．命题“若m²+n²=0，则m=0且n=0”的否命题是“若m²+n²≠0，则m≠0或n≠0”

5. 难度：中等

若程序框图如图所示，则该程序运行后输出k的值是（ ）

A．4
B．5
C．6
D．7

6. 难度：中等

当时，函数f（x）=Asin（x+φ）（A＞0）取得最小值，则函数是（ ）
A．奇函数且图象关于点对称
B．偶函数且图象关于点（π，0）对称
C．奇函数且图象关于直线对称
D．偶函数且图象关于点对称

7. 难度：中等

在△ABC中，∠A=60°，AB=2，且△ABC的面积为，则BC的长为（ ）
A．
B．3
C．
D．7

8. 难度：中等

已知则向量与的夹角为（ ）
A．
B．
C．
D．

9. 难度：中等

若a，b∈R，且ab＞0，则下列不等式中，恒成立的是（ ）
A．a+b≥2
B．
C．
D．a²+b²＞2ab

10. 难度：中等

设函数f（x）=x³-4x+a（0＜a＜2）有三个零点x₁、x₂、x₃，且x₁＜x₂＜x₃，则下列结论正确的是（ ）
A．x₁＞-1
B．x₂＜0
C．0＜x₂＜1
D．x₃＞2

11. 难度：中等

直线x+（a²+1）y+1=0（a∈R）的倾斜角的取值范围是（ ）
A．[0，]
B．[，π）
C．[0，]∪（，π）
D．[，）∪[，π）

12. 难度：中等

设奇函数f（x）在[-1，1]上是增函数，f（-1）=-1．若函数f（x）≤t²-2at+1对所有的x∈[-1，1]都成立，则当a∈[-1，1]时，t的取值范围是（ ）
A．-2≤t≤2
B．
C．t≤-2或t=0或t≥2
D．

二、填空题

13. 难度：中等

从集合{1，2，3，4，5}中随机选取3个不同的数，这3个数可以构成等差数列的概率为    ．

14. 难度：中等

二项式的展开式中，常数项等于    （用数字作答）．

15. 难度：中等

已知矩形ABCD的顶点都在半径为5的球O的球面上，且AB=8，BC=2，则棱锥O-ABCD的体积为    ．

16. 难度：中等

设双曲线的离心率为2，且一个焦点与抛物线x²=8y的焦点相同，则此双曲线的方程为    ．

三、解答题

17. 难度：中等

设等比数列{a_n}的前n项和为S_n，a₄=a₁-9，a₅，a₃，a₄成等差数列．
（1）求数列{a_n}的通项公式，
（2）证明：对任意k∈N⁺，S_k+2，S_k，S_k+1成等差数列．

18. 难度：中等

已知．
（1）求A的值；
（II）设α、β∈[0，]，f（3α+π）=，f（3β-）=-，求cos（α+β）的值．

19. 难度：中等

如图在多面体ABCDEF中，ABCD为正方形，ED⊥平面ABCD，FB∥ED，且AD=DE=2BF=2．
（I）求证：AC⊥EF；
（II）求二面角C-EF-D的大小；
（III）设G为CD上一动点，试确定G的位置使得BG∥平面CEF，并证明你的结论．

20. 难度：中等

某产品按行业生产标准分成6个等级，等级系数ξ依次为1，2，3，4，5，6，按行业规定产品的等级系数ξ≥5的为一等品，3≤ξ＜5的为二等品，ξ＜3的为三等品．
若某工厂生产的产品均符合行业标准，从该厂生产的产品中随机抽取30件，相应的等级系数组成一个样本，数据如下；

（I）以此30件产品的样本来估计该厂产品的总体情况，试分别求出该厂生产原一等品、二等品和三等品的概率；
（II）已知该厂生产一件产品的利润y（单位：元）与产品的等级系数ζ的关系式为，若从该厂大量产品中任取两件，其利润记为Z，求Z的分布列和数学期望．

21. 难度：中等

已知椭圆C₁：=1，椭圆C₂以C₁的短轴为长轴，且与C₁有相同的离心率．
（I）求椭圆C₂的方程；
（II）设直线l与椭圆C₂相交于不同的两点A、B，已知A点的坐标为（-2，0），点Q（0，y）在线段AB的垂直平分线上，且=4，求直线l的方程．

22. 难度：中等

已知函数f（x）=（ax²+bx+c）e^x且f（0）=1，f（1）=0．
（I）若f（x）在区间[0，1]上单调递减，求实数a的取值范围；
（II）当a=0时，是否存在实数m使不等式2f（x）+4xe^x≥mx+1≥-x²+4x+1对任意x∈R恒成立？若存在，求出m的值，若不存在，请说明理由．