2013年福建省泉州市高三5月质检数学试卷（理科）（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

已知a∈R，且0＜a＜1，i为虚数单位，则复数z=a+（a-1）i在复平面内所对应的点位于（ ）
A．第一象限
B．第二象限
C．第三象限
D．第四象限

2. 难度：中等

已知两条直线a，b和平面α，若b⊂α，则a∥b是a∥α的（ ）
A．充分但不必要条件
B．必要但不充分条件
C．充要条件
D．既不充分又不必要条件

3. 难度：中等

若公比为2且各项均为正数的等比数列{a_n}中，a₄•a₁₂=64，则a₇的值等于（ ）
A．2
B．4
C．8
D．16

4. 难度：中等

某车间加工零件的数量x与加工时间y的统计数据如表：

零件数x（个）	10	20	30
加工时间y（分钟）	21	30	39

现已求得上表数据的回归方程中的值为0.9，则据此回归模型可以预测，加工100个零件所需要的加工时间约为（ ）
A．84分钟
B．94分钟
C．102分钟
D．112分钟

5. 难度：中等

已知点P（x，y）在直线x-y-1=0上运动，则（x-2）²+（y-2）²的最小值为（ ）
A．
B．
C．
D．

6. 难度：中等

执行如图所示程序框图所表达的算法，输出的结果是（ ）

A．99
B．100
C．120
D．142

7. 难度：中等

已知向量=（1，2），=（m-1，m+3）在同一平面内，若对于这一平面内的任意向量，都有且只有一对实数λ，μ，使=λ+μ，则实数m的取值范围是（ ）
A．
B．m≠5
C．m≠-7
D．

8. 难度：中等

公安部新修订的《机动车登记规定》正式实施后，小型汽车的号牌已经可以采用“自主编排”的方式进行编排．某人欲选由A、B、C、D、E中的两个不同字母，和0、1、2、3、4、5、6、7、8、9中的3个不同数字，组成的三个数字都相邻的一个号牌，则他选择号牌的方法种数最多有（ ）
A．7200种
B．14400种
C．21600种
D．43200种

9. 难度：中等

已知周期函数f（x）的定义域为R，周期为2，且当-1＜x≤1时，f（x）=1-x²．若直线y=-x+a与曲线y=f（x）恰有2个交点，则实数a的所有可能取值构成的集合为（ ）
A．或，k∈Z}
B．或，k∈Z}
C．{a|a=2k+1或，k∈Z}
D．{a|a=2k+1，k∈Z}

10. 难度：中等

如图，等腰梯形ABCD中，AB∥CD且AB=2，AD=1，DC=2x（x∈（0，1））．以A，B为焦点，且过点D的双曲线的离心率为e₁；以C，D为焦点，且过点A的椭圆的离心率为e₂，则e₁+e₂的取值范围为 （ ）

A．[2，+∞）
B．（，+∞）
C．[，+∞）
D．（，+∞）

二、填空题

11. 难度：中等

设全集U=R，A={-1，0，1，2，3}，B={x|log₂x≤1}，则A∩（∁_UB）=    ．

12. 难度：中等

已知a＜b，则在下列的一段推理过程中，错误的推理步骤有    ．（填上所有错误步骤的序号）
∵a＜b，∴a+a＜b+a，即2a＜b+a，…①
∴2a-2b＜b+a-2b，即2（a-b）＜a-b，…②
∴2（a-b）•（a-b）＜（a-b）•（a-b），即2（a-b）²＜（a-b）²，…③
∵（a-b）²＞0，∴可证得 2＜1．…④

13. 难度：中等

已知△ABC的三个内角A，B，C满足sinA•sinB=sin²C，则角C的取值范围是    ．

14. 难度：中等

如图所示的三个等腰直角三角形是某几何体的三视图，则该几何体的外接球的表面积为    ．

15. 难度：中等

设集合P⊆Z，且满足下列条件：
（1）∀x，y∈P，x+y∈P；       
（2）-1∉P；
（3）P中的元素有正数，也有负数； 
（4）P中存在是奇数的元素．
现给出如下论断：
①P可能是有限集；
②∃m，n∈P，mn∈P；
③0∈P；         
④2∉P．
其中正确的论断是    ． （写出所有正确论断的序号）

三、解答题

16. 难度：中等

已知ω＞0，函数f（x）=sinωx•cosωx+的最小正周期为π．
（Ⅰ）试求w的值；
（Ⅱ）在图中作出函数f（x）在区间[0，π]上的图象，并根据图象写出其在区间[0，π]上的单调递减区间．

17. 难度：中等

小王经营一家面包店，每天从生产商处订购一种品牌现烤面包出售．已知每卖出一个现烤面包可获利10元，若当天卖不完，则未卖出的现烤面包因过期每个亏损5元．经统计，得到在某月（30天）中，小王每天售出的现烤面包个数n及天数如下表：

售出个数n	10	11	12	13	14	15
天数	3	3	3	6	9	6

试依据以频率估计概率的统计思想，解答下列问题：
（Ⅰ）计算小王某天售出该现烤面包超过13个的概率；
（Ⅱ）若在今后的连续5天中，售出该现烤面包超过13个的天数大于3天，则小王决定增加订购量．试求小王增加订购量的概率．
（Ⅲ）若小王每天订购14个该现烤面包，求其一天出售该现烤面包所获利润的分布列和数学期望．

18. 难度：中等

已知椭圆C的对称中心为坐标原点，上焦点为F（0，1），离心率e=．
（Ⅰ）求椭圆C的方程；    
（Ⅱ）设A（m，0）（m＞0）为x轴上的动点，过点A作直线l与直线AF垂直，试探究直线l与椭圆C的位置关系．

19. 难度：中等

如图，四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AA₁⊥平面ABCD．
（Ⅰ）从下列①②③三个条件中选择一个做为AC⊥BD₁的充分条件，并给予证明；
①AB⊥BC，②AC⊥BD；③ABCD是平行四边形．
（Ⅱ）设四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁的所有棱长都为1，且∠BAD为锐角，求平面BDD₁与平面BC₁D₁所成锐二面角θ的取值范围．

20. 难度：中等

已知函数f（x）=alnx+bx（x＞0），g（x）=x•e^x-1（x＞0），且函数f（x）在点P（1，f（1））处的切线方程为y=2x-1．
（Ⅰ）求函数f（x）的解析式；
（Ⅱ）设点Q（x，f（x）），当x＞1时，直线PQ的斜率恒小于m，试求实数m的取值范围；
（Ⅲ）证明：g（x）≥f（x）．

21. 难度：中等

如图，单位正方形区域OABC在二阶矩阵M的作用下变成平行四边形OAB₁C₁区域．
（Ⅰ）求矩阵M；
（Ⅱ）求M²，并判断M²是否存在逆矩阵？若存在，求出它的逆矩阵．

22. 难度：中等

在平面直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为：（t为参数）．以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为．
（Ⅰ）求曲线C的平面直角坐标方程；
（Ⅱ）设直线l与曲线C交于点M，N，若点P的坐标为（1，0），求|PM|•|PN|的值．

四、填空题

23. 难度：中等

已知函数f（x）=|x|，x∈R．
（Ⅰ）解不等式f（x-1）＞2；
（Ⅱ）若[f（x）]²+y²+z²=9，试求x+2y+2z的最小值．