2013年安徽师大附中高考数学七模试卷（理科）（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

i是虚数单位，复数z=的虚部是（ ）
A．-i
B．-1
C．1
D．2

2. 难度：中等

已知全集U，集合A⊆B⊆U，则有（ ）
A．A∩B=B
B．A∪B=A
C．（∁_UA）∩（∁_UB）=∁_UB
D．（∁_UA）∪（∁_UB）=∁_UB

3. 难度：中等

给出下列四个命题：命题p₁：“a=0，b≠0”是“函数y=x²+ax+b为偶函数”的必要不充分条件；命题p₂：函数是奇函数，则下列命题是真命题的是（ ）
A．p₁∧p₂
B．p₁∨¬p₂
C．p₁∨p₂
D．p₁∧¬p₂

4. 难度：中等

设a、b为两条不同的直线，α、β为两个不同的平面．下列命题中，正确的是（ ）
A．若a、b与α所成的角相等，则a∥b
B．若α⊥β，m∥α，则m⊥β
C．若a⊥α，a∥β，则α⊥β
D．若a∥α，b∥β，则a∥b

5. 难度：中等

如图，给出的是计算的值的一个程序框图，则图中判断框内（1）处和执行框中的（2）处应填的语句是（ ）

A．i＞100，n=n+1
B．i＞100，n=n+2
C．i＞50，n=n+2
D．i≤50，n=n+2

6. 难度：中等

已知双曲线的一个焦点与抛物线y²=4x的焦点重合，且双曲线的离心率等于，则该双曲线的方程为（ ）
A．
B．
C．
D．

7. 难度：中等

已知数列{a_n}，{b_n}满足a₁=b₁=1，，则数列的前10项的和为（ ）
A．
B．
C．
D．

8. 难度：中等

设ω＞0，函数y=sin（ωx+φ）（-π＜φ＜π）的图象向左平移个单位后，得到下面的图象，则ω，φ的值为（ ）
A．
B．
C．
D．

9. 难度：中等

已知x，y满足且目标函数z=2x+y的最大值为7，最小值为1，则=（ ）
A．2
B．1
C．-1
D．-2

10. 难度：中等

已知f（x）是定义域为R的奇函数，f（-4）=-1，f（x）的导函数f′（x）的图象如图所示．若两正数a，b满足f（a+2b）＜1，则的取值范围是（ ）

A．
B．
C．（-1，10）
D．（-∞，-1）

二、填空题

11. 难度：中等

向量，满足||=1，|-|=，与的夹角为60°，||=    ．

12. 难度：中等

已知某几何体的三视图如图所示，若该几何体的体积为24，则正视图中a的值为    ．

13. 难度：中等

以平面直角坐标系的原点为极点，x轴的正半轴为极轴并取相同的长度单位建立极坐标系，若直线与曲线C：相交于A，B两点，则线段AB的长为    ．

14. 难度：中等

在二项式（x²-）⁵的展开式中，含x⁴的项的系数是    ．

15. 难度：中等

关于y=f（x），给出下列五个命题：
①若f（-1+x）=f（1+x），则y=f（x）是周期函数；
②若f（1-x）=-f（1+x），则y=f（x）为奇函数；
③若函数y=f（x-1）的图象关于x=1对称，则y=f（x）为偶函数；
④函数y=f（1+x）与函数y=f（1-x）的图象关于直线x=1对称；
⑤若f（1-x）=f（1+x），则y=f（x）的图象关于点（1，0）对称．
填写所有正确命题的序号    ．

三、解答题

16. 难度：中等

已知函数（ω＞0，x∈R），且函数f（x）的最小正周期为π．
（1）求函数f（x）的解析式并求f（x）的最小值；
（2）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若f（B）=1，，且，求边长b．

17. 难度：中等

如图，在直四棱柱ABCD-A′B′C′D′中，底面ABCD为梯形，BC∥AD，AA′=AB=，AD=2BC=2，直线AD与面ABB'A'所成角为45°．
（Ⅰ）求证：DB⊥面ABB'A'；
（Ⅱ）求证：AD'⊥B'C；
（Ⅲ）求二面角D-AB'-B的正切值．

18. 难度：中等

休假次数		1	2	3
人数	5	10	20	15

某单位实行休年假制度三年以来，50名职工休年假的次数进行的调查统计结果如下表所示：
根据上表信息解答以下问题：
（1）从该单位任选两名职工，用η表示这两人休年假次数之和，记“函数f（x）=x²-ηx-1在区间（4，6）上有且只有一个零点”为事件A，求事件A发生的概率P；
（2）从该单位任选两名职工，用ξ表示这两人休年假次数之差的绝对值，求随机变量ξ的分布列及数学期望Eξ．

19. 难度：中等

已知函数f（x）=2n-x在[0，+∞）上最小值是a_n（n∈N^*）
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）令b_n=，求证：b₁+b₂+…+b_n＜．

20. 难度：中等

已知函数f（x）=（a+1）lnx+ax²+1
（1）讨论函数f（x）的单调性；
（2）设a＜-1．如果对任意x₁，x₂∈（0，+∞），|f（x₁）-f（x₂）|≥4|x₁-x₂|，求a的取值范围．

21. 难度：中等

已知椭圆 （a＞b＞0）的离心率e=，过点A（0，-b）和B（a，0）的直线与原点的距离为．
（1）求椭圆的方程；
（2）设F₁、F₂为椭圆的左、右焦点，过F₂作直线交椭圆于P、Q两点，求△PQF₁的内切圆半径r的最大值．