2013年四川省宜宾市高考数学二模试卷（理科）（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

已知集合A={1，2}，集合B满足A∪B={1，2，3}，则集合B有（ ）个．
A．1
B．2
C．3
D．4

2. 难度：中等

复数的共轭复数是（ ）
A．i+2
B．i-2
C．-2-i
D．2-i

3. 难度：中等

在一个几何体的三视图中，正视图和俯视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）

A．cm³
B．cm³
C．cm³
D．cm³

4. 难度：中等

如果执行如图所示的框图，输入N=10，则输出的数等于（ ）

A．25
B．35
C．45
D．55

5. 难度：中等

下列命题中，m，n表示两条不同的直线，α、β、γ表示三个不同的平面．
①若m⊥α，n∥α，则m⊥n；
②若α⊥γ，β⊥γ，则α∥β；
③若m∥α，n∥α，则m∥n；
④若α∥β，β∥γ，m⊥α，则m⊥γ．
正确的命题是（ ）
A．①③
B．②③
C．①④
D．②④

6. 难度：中等

若=a+a₁x+a₂x²+a₃x³+a₄x⁴，则（a+a₂+a₄）²-（a₁+a₃）²的值是（ ）
A．1
B．-1
C．0
D．2

7. 难度：中等

设、、是同一平面的三个单位向量，且，则的最小值为（ ）
A．-1
B．-2
C．1-
D．

8. 难度：中等

设直线l的斜率为2且过抛物线y²=ax（a≠0）的焦点F，又与y轴交于点A，O为坐标原点，若△OAF的面积为4，则抛物线的方程为（ ）
A．y²=4
B．y²=8
C．y²=±4
D．y²=±8

9. 难度：中等

用红、黄、蓝、白、黑五种颜色涂在“田“字形的4个小方格内，一格涂一种颜色而且相邻两格涂不同的颜色，如颜色可以重复使用，则有且仅有两格涂相同颜色的概率为（ ）
A．
B．
C．
D．

10. 难度：中等

如图，轴截面为边长为等边三角形的圆锥，过底面圆周上任一点作一平面α，且α与底面所成二面角为，已知α与圆锥侧面交线的曲线为椭圆，则此椭圆的离心率为（ ）

A．
B．
C．
D．

二、填空题

11. 难度：中等

如果f（x）是周期为2的奇函数，当0≤x≤1时，f（x）=2x（1-x），那么=    ．

12. 难度：中等

若a、b是直线，α、β是平面，a⊥α，b⊥β，向量在a上，向量在b上，，，则α、β所成二面角中较小的一个余弦值为    ．

13. 难度：中等

已知函数f（x）=f′（）cosx+sinx，则f（）的值为    ．

14. 难度：中等

已知平面直角坐标系xoy上的区域D由不等式组给定，若M（x，y）为D上的动点，A的坐标为（-1，1），则的取值范围是    ．

15. 难度：中等

设函数f（x）的定义域为D，若存在非零实数n使得对于任意x∈M（M⊆D），有x+n∈D，且f（x+n）≥f（x），则称f（x）为M上的n高调函数，如果定义域为[-1，+∞）的函数f（x）=x²为[-1，+∞）上的k高调函数，那么实数k的取值范围是    ．

三、解答题

16. 难度：中等

已知函数f（x）=msin（π-ωx）-msin（-ωx）（m＞0，ω＞0）的图象上两相邻最高点的坐标分别为（，2）和（，2）．
（Ⅰ）求m与ω的值；
（Ⅱ）在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，且f（A）=2，求的取值范围．

17. 难度：中等

在数列{a_n}中，a₁=1，a_n+1=a_n+c（c为常数，n∈N^*），且a₁，a₂，a₅成公比不为1的等比数列．
（1）求c的值；
（2）设，求数列{b_n}的前n项和S_n．

18. 难度：中等

如图1，在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=3，AC=6，D、E分别是AC、AB上的点，且DE∥BC，将△ADE沿DE折起到△A₁DE的位置，使A₁D⊥CD，如图2．
（Ⅰ）求证：平面A₁BC⊥平面A₁DC；
（Ⅱ）若CD=2，求BE与平面A₁BC所成角的余弦值；
（Ⅲ）当D点在何处时，A₁B的长度最小，并求出最小值．

19. 难度：中等

某市城调队就本地居民的月收入调查了10000人，并根据所得数据画出了样本的频率分布直方图（每个分组包括左端点，不包括右端点，如第一组表示收入在[1500，2000），单位：元）．

（Ⅰ）求随机抽取一位居民，估计该居民月收入在[2500，3500）的概率，并估计这10000人的人均月收入；
（Ⅱ）若将频率视为概率，从本地随机抽取3位居民（看作有放回的抽样），求月收入在[2500，3500）上居民人数x的数学期望．

20. 难度：中等

已知椭圆的中心在坐标原点O，焦点在x轴上，椭圆的短轴端点和焦点所组成的四边形为正方形，两准线间的距离为1．
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）直线l过点P（0，2）且与椭圆相交于A、B两点，当△AOB面积取得最大值时，求直线l的方程．

21. 难度：中等

已知函数f_t（x）=（t-x），其中t为正常数．
（Ⅰ）求函数f_t（x）在（0，+∞）上的最大值；
（Ⅱ）设数列{a_n}满足：a₁=，3a_n+1=a_n+2，（1）求数列{a_n}的通项公式a_n； （2）证明：对任意的x＞0，（x）（n∈N^*）；
（Ⅲ）证明：．