2006年浙江省舟山中学高考数学三模试卷（理科）（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

设全集U={1，2，3，4，5，7}，集合A={1，3，5，7}，集合B={3，5}，则（ ）
A．U=A∪B
B．U=（∁_UA）∪B
C．U=（∁_UA）∪（∁_UB）
D．U=A∪（∁_UB）

2. 难度：中等

若z=（b∈R）为纯虚数，则b的值为（ ）
A．-1
B．1
C．-2
D．4

3. 难度：中等

在等差数列{a_n}中，a₅+a₇=16，a₃=1，则a₉=（ ）
A．15
B．30
C．-31
D．64

4. 难度：中等

函数f（x）=|x|，在x=0处（ ）
A．无定义
B．极限不存在
C．不连续
D．不可导

5. 难度：中等

已知，其中，则sinα=（ ）
A．
B．
C．
D．

6. 难度：中等

已知平面上不同的四点A、B、C、D，若，则三角形ABC一定是（ ）
A．直角或等腰三角形
B．等腰三角形
C．等腰三角形但不一定是直角三角形
D．直角三角形但不一定是等腰三角形

7. 难度：中等

6条网线并联，它们能通过的最大信息量分别为1，1，2，2，3，4，现从中任取三条网线且使这三条网线通过最大信息量的和大于等于6的方法共有（ ）
A．13种
B．14种
C．15种
D．16种

8. 难度：中等

点P是双曲线的上支上的一点，F₁，F₂分别为双曲线的上、下焦点，则△PF₁F₂的内切圆圆心M的坐标一定适合的方程是（ ）
A．y=-3
B．y=3
C．x²+y²=5
D．y=3x²-2

9. 难度：中等

一个三棱锥的四个顶点均在直径为的球面上，它的三条侧棱两两垂直，若其中一条侧棱长是另一条侧棱长的2倍，则这3条侧棱长之和的最大值为（ ）
A．3
B．
C．
D．

10. 难度：中等

王老师于2003年底向银行贷款a万元，月利率为r，按月均等额还本付息的方式还款，贷款一个月后开始还款，每月付款b万元．由于银行从2005年起调高贷款利率，王老师决定在2004年底付完第12笔月付时，一次性付清所欠款，则该一次性付款额为（ ）
A．a（1+r）¹²-b
B．a（1+r）¹¹-b
C．a（1+r）¹²-b（1+r）¹²
D．a（1+r）¹²-b

二、填空题

11. 难度：中等

设的展开式的各项系数之和为M，且二项式系数之和为N，M-N=992，则展开式中x²项的系数为    ．

12. 难度：中等

定义一种新运算“⊕”如下：当a≥b，a⊕b=a；a≤b，a⊕b=b²．对于函数f（x）=[（-2）⊕x]x-（2⊕x），x∈（-2，2），把f（x）图象按向量平移后得到奇函数g（x）的图象，则=    ．

13. 难度：中等

将正方形ABCD沿对角线BD折成二面角A-BD-C的大小为，则AC与平面BCD所成的角的大小为    ．

14. 难度：中等

若数列{a_n}的通项公式是，且该数列中的最大项是a_m则m=    ．

三、解答题

15. 难度：中等

已知函数f（x）=sin（ωx+ϕ）（0＜ω＜1，0≤ϕ≤π）是R上的偶函数，其图象关于点M（，0）对称．
（1）求ϕ，ω的值
（2）求f（x）的单调递增区间
（3）x∈[，]，求f（x）的最大值与最小值．

16. 难度：中等

已知函数f（x）=2x-a（a∈N^*、x∈R），数列a_n满足a₁=-a，a_n+1-a_n=f（n）．
（1）求数列a_n的通项公式；
（2）当a₅与a₆这两项中至少有一项为a_n中的最小项时，求a的值；
（3）若数列b_n满足对∀n∈N^*，都有b₁+2b₂+2²b₃+…+2^n-1b_n=a_n+1成立，求数列{b_n}中的最大项．

17. 难度：中等

如图，棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁的所有棱长都等于2，∠ABC=60°，平面AA₁CC₁⊥平面ABCD，∠A₁AC=60°
（1）求二面角D-A₁A-C的大小．
（2）求点B₁到平面A₁ADD₁的距离
（3）在直线CC₁上是否存在P点，使BP∥平面DA₁C₁，若存在，求出点P的位置；若不存在，说出理由．

18. 难度：中等

平面直角坐标系中有两个动点A、B，他们的起始坐标分别是（0，0），（2，2），动点A，B从同一时刻开始每隔1秒钟向上、下、左、右四个方向中的一个方向移动一个单位．已知动点A向左、右移动1个单位的概率都是，向上移动一个单位的概率是，向下移动一个单位的概率是p； 动点B向上、下、左、右移动一个单位的概率都是q．
（1）求p和q的值．
（2）试判断最少需要几秒钟，动点A、B能同时到达点D（1，2），并求在最短时间内它们同时到达点D的概率．

19. 难度：中等

如图，双曲线C：（a＞0，b＞0）的渐近线为l₁，l₂，离心率为，P₁∈l₁，P₂∈l₂，且，（λ＞0），P在双曲线C右支上．
（1）若△P₁OP₂的面积为6，求t的值；
（2）t=5时，求a最大时双曲线C的方程．

20. 难度：中等

已知函数f（x）=x³+ax²-bx+1（x∈R，a，b为实数）有极值，且在x=1处的切线与直线x-y+1=0平行．
（1）求实数a的取值范围；
（2）是否存在实数a，使得函数f（x）的极小值为1，若存在，求出实数a的值；若不存在，请说明理由；
（3）设a=令g（x）=-3，x∈（0，+∞），求证：gⁿ（x）-xⁿ-≥2ⁿ-2（n∈N₊）．