2013年广东省深圳中学高考数学二模试卷（理科）（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

已知全集U={1，2，3，4，5，6}，集合A={1，3，5}，B={1，2}，则A∩（∁_UB）（ ）
A．∅
B．{5}
C．{3}
D．{3，5}

2. 难度：中等

设直线l₁与l₂的方程分别为a₁x+b₁y+c₁=0与a₂x+b₂y+c₂=0，则“a₁b₂-a₂b₁=0”是“l₁∥l₂”的（ ）
A．充分而不必要条件
B．必要而不充分条件
C．充分必要条件
D．既不充分也不必要条件

3. 难度：中等

已知a，b，c满足c＜b＜a且ac＜0，则下列选项中一定成立的是（ ）
A．ab＞ac
B．c（b-a）＜0
C．cb²＜ab²
D．ac（a-c）＞0

4. 难度：中等

设数列{a_n}是等差数列，且a₂=-8，a₁₅=5，S_n是数列{a_n}的前n项和，则（ ）
A．S₁₀=S₁₁
B．S₁₀＞S₁₁
C．S₉=S₁₀
D．S₉＜S₁₀

5. 难度：中等

设（其中e为自然对数的底数），则的值为（ ）
A．
B．
C．
D．

6. 难度：中等

在四边形ABCD中，AB∥CD，=3，E为BC的中点．则A=（ ）

A．
B．
C．
D．

7. 难度：中等

点P是抛物线y²=4x上一动点，则点P到点A（0，-1）的距离与到直线x=-1的距离和的最小值是（ ）
A．
B．
C．2
D．

8. 难度：中等

已知定义在R上的函数f（x）、g（x）满足，且f′（x）g（x）＜f（x）g′（x），，若有穷数列（n∈N^*）的前n项和等于，则n等于 （ ）
A．4
B．5
C．6
D．7

二、填空题

9. 难度：中等

若双曲线的一个焦点为（4，0），则双曲线的渐近线方程为    ．

10. 难度：中等

如果执行右侧的程序框图，那么输出的S=    ．

11. 难度：中等

若函数f（x）=lnx+2x-6的零点x∈[k，k+1）则整数k的值为    ．

12. 难度：中等

已知函数f（x）在定义域[0，+∞）单调递增，则满足f（x-1）＜f（）的x取值范围是    ．

13. 难度：中等

在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、C、若（b-c）cosA=acosC，则cosA=    ．

14. 难度：中等

如图，阴影部分区域Γ是由线段AC，线段CB及半圆所围成的图形（含边界），其中边界点的坐标为A（1，1），B（3，3），C（1，3）当动点P（X，Y）在区域Γ上运动时，的取值范围是    ．

三、解答题

15. 难度：中等

已知函数f（x）=asinx•cosx-a
（1）求函数的单调递减区间；
（2）设x∈[0，]，f（x）的最小值是-2，最大值是，求实数a，b的值．

16. 难度：中等

已知数列{a_n}满足递推式a_n=2a_n-1+1（n≥2），其中a₃=7
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）已知数列（b_n}满足b_n=，求数列{b_n}的前n项和S_n．

17. 难度：中等

设某旅游景点每天的固定成本为500元，门票每张为30元，变动成本与购票进入旅游景点的人数的算术平方根成正比．一天购票人数为25人时，该旅游景点收支平衡；一天购票人数超过100人时，该旅游景点需另交保险费200元．设每天的购票人数为x人，赢利额为y元．
（1）求y与x之间的函数关系；
（2）该旅游景点希望在人数达到20人时即不出现亏损，若用提高门票价格的措施，则每张门票至少要多少元（取整数）？注：①利润=门票收入-固定成本-变动成本；
②可选用数据：，，．

18. 难度：中等

设函数，其中常数a∈R，e为自然对数的底数．
（1）若a=2求函数f（x）的图象在x=-1处的切线的方程；
（2）若函数f（x）的极大值为3，求a的值及f（x）的极小值．

19. 难度：中等

如图，已知抛物线C：y²=2px和⊙M：（x-4）²+y²=1，过抛物线C上一点H（x，y）（y≥1）作两条直线与⊙M相切于A、两点，分别交抛物线为E、F两点，圆心点M到抛物线准线的距离为．
（Ⅰ）求抛物线C的方程；
（Ⅱ）当∠AHB的角平分线垂直x轴时，求直线EF的斜率；
（Ⅲ）若直线AB在y轴上的截距为t，求t的最小值．

20. 难度：中等

已知二次函数f（x）=ax²+bx的图象过点（-4n，0），且f′（0）=2n，n∈N^*．
（1）若数列{a_n} 满足，且a₁=4，求数列{a_n} 的通项公式；
（2）若数列{b_n}满足：b₁=1，，当n≥3，n∈N^*时，求证：①；②．