2013年宁夏银川一中高考数学二模试卷（理科）（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

已知集合A={x|x²+3x+2≤0}，B={y|y=2^x-1，x∈R}，则A∩∁_RB=（ ）
A．φ
B．{-1}
C．[-2，-1]
D．[-2，-1）

2. 难度：中等

若复数的实部与虚部相等，则实数b等于（ ）
A．3
B．1
C．
D．

3. 难度：中等

已知某随机变量X的概率密度函数为P（x）=，则随机变量X落在区间（1，2）内的概率为（ ）
A．e²+e
B．
C．e²-e
D．

4. 难度：中等

某校在模块考试中约有1000人参加考试，其数学考试成绩ξ～N（90，a²），（a＞0试卷满分150分），统计结果显示数学考试成绩在70分到110分之间的人数约为总人数的，则此次数学考试成绩不低于110分的学生人数约为（ ）
A．200
B．300
C．400
D．600

5. 难度：中等

已知命题p：∃x∈R，x-2＞lgx，命题q：∀x∈R，x²＞0，则（ ）
A．命题p∨q是假命题
B．命题p∧q是真命题
C．命题p∧（￢q）是真命题
D．命题p∨（￢q）是假命题

6. 难度：中等

若函数f（x）=（k-1）a^x-a^-x（a＞0，a≠1）在R上既是奇函数，又是减函数，则g（x）=log_a（x+k）的图象是（ ）
A．
B．
C．
D．

7. 难度：中等

已知点F是双曲线=1（a＞0，b＞0）的左焦点，点E是该双曲线的右顶点，过点F且垂直于x轴的直线与双曲线交于A、B两点，△ABE是锐角三角形，则该双曲线的离心率e的取值范围是（ ）
A．（1，+∞）
B．（1，2）
C．（1，1+）
D．（2，1+）

8. 难度：中等

已知，则sin（）的值（ ）
A．随k的增大而增大
B．有时随k的增大而增大，有时随k的增大而减小
C．随k的增大而减小
D．是一个与k无关的常数

9. 难度：中等

已知正数x、y满足，则z=的最小值为（ ）
A．1
B．
C．
D．

10. 难度：中等

对实数a与b，定义新运算“⊗”：a⊗b=．设函数f（x）=（x²-2）⊗（x-1），x∈R．若函数y=f（x）-c的图象与x轴恰有两个公共点，则实数c的取值范围是（ ）
A．（-1，1]∪（2，+∞）
B．（-2，-1]∪（1，2]
C．（-∞，-2）∪（1，2]
D．[-2，-1]

11. 难度：中等

已知f（x）是定义在R上的增函数，函数y=f（x-1）的图象关于点（1，0）对称．若对任意的x，y∈R，不等式f（x²-6x+21）+f（y²-8y）＜0恒成立，则当x＞3时，x²+y²的取值范围是（ ）
A．（3，7）
B．（9，25）
C．（13，49）
D．（9，49）

12. 难度：中等

已知直三棱柱ABC-A₁B₁C₁的各棱长均为1，棱BB₁所在直线上的动点M满足，AM与侧面BB₁C₁C所成的角为θ，若λ∈[]，则θ的取值范围是（ ）
A．[，]
B．[]
C．[，]
D．[，]

二、填空题

13. 难度：中等

已知K为如图所示的程序框图输出的结果，二项式（x^k）ⁿ的展开式中含有非零常数项，则正整数n的最小值为    ．

14. 难度：中等

把一个半径为cm的金属球熔成一个圆锥，使圆锥的侧面积为底面积的3倍，则这个圆锥的高为    ．

15. 难度：中等

P为抛物线y²=4x上任意一点，P在y轴上的射影为Q，点M（4，5），则PQ与PM长度之和的最小值为：    ．

16. 难度：中等

已知AD是△ABC的中线，若∠A=120°，，则的最小值是    ．

三、解答题

17. 难度：中等

已知各项均为正数的数列{a_n}满足a_n+1²-a_n+1a_n-2a_n²=0，且a₃+2是a₂，a₄的等差中项．
（Ⅰ）求数列{a_n}的通项公式a_n；
（Ⅱ）若b_n=a_n，求使S_n+n•2ⁿ⁺¹＞50成立的正整数n的最小值．

18. 难度：中等

一个几何体是由圆柱ADD₁A₁和三棱锥E-ABC组合而成，点A、B、C在圆O的圆周上，其正（主）视图、侧（左）视图的面积分别为10和12，如图所示，其中EA⊥平面ABC，AB⊥AC，AB=AC，AE=2．

（1）求证：AC⊥BD；

（2）求二面角A-BD-C的平面角的大小．

19. 难度：中等

某学校为了研究学情，从高三年级中抽取了20名学生三次测试的数学成绩和物理成绩，计算出了他们三次成绩的平均名次如下表：

学生序号	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
数    学	1.3	12.3	25.7	36.7	50.3	67.7	49.0	52.0	40.0	34.3
物    理	2.3	9.7	31.0	22.3	40.0	58.0	39.0	60.7	63.3	42.7
学生序号	11	12	13	14	15	16	17	18	19	20
数    学	78.3	50.0	65.7	66.3	68.0	95.0	90.7	87.7	103.7	86.7
物    理	49.7	46.7	83.3	59.7	50.0	101.3	76.7	86.0	99.7	99.0

学校规定平均名次小于或等于40.0者为优秀，大于40.0者为不优秀．
（1）对名次优秀者赋分2，对名次不优秀者赋分1，从这20名学生中随机抽取2名，用ξ表示这两名学生数学科得分的和，求ξ的分布列和数学期望；
（2）根据这次抽查数据，是否在犯错误的概率不超过0.025的前提下认为物理成绩优秀与否和数学成绩优秀与否有关系？（下面的临界值表和公式可供参考：

P（K^2≥k）	0.15	0.10	0.05	0.025	0.010	0.005	0.001
k	2.072	2.706	3.841	5.024	6.635	7.879	10.828

K²=，其中n=a+b+c+d）

20. 难度：中等

已知两点F₁（-1，0）及F₂（1，0），点P在以F₁、F₂为焦点的椭圆C上，且|PF₁|、|F₁F₂|、|PF₂|构成等差数列．
（1）求椭圆C的方程；
（2）如图，动直线l：y=kx+m与椭圆C有且仅有一个公共点，点M，N是直线l上的两点，且F₁M⊥l，F₂N⊥l．求四边形F₁MNF₂面积S的最大值．

21. 难度：中等

已知函数g（x）=，f（x）=g（x）-ax．
（1）求函数g（x）的单调区间；
（2）若函数f（x）在（1，+∞）上是减函数，求实数a的最小值；
（3）若存在x₁，x₂∈[e，e²]，使f（x₁）≤f^′（x₂）+a，求实数a的取值范围．

22. 难度：中等

如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，BE平分∠ABC交AC于点E，点D在AB上，DE⊥EB．
（Ⅰ）求证：AC是△BDE的外接圆的切线；
（Ⅱ）若，求EC的长．

23. 难度：中等

选修4-4：坐标系与参数方程．
已知曲线C的极坐标方程为ρ=，直线l的参数方程为（t为参数，0≤α＜π）．
（Ⅰ）把曲线C的极坐标方程化为直角坐标方程，并说明曲线C的形状；
（Ⅱ）若直线l经过点（1，0），求直线l被曲线C截得的线段AB的长．

24. 难度：中等

设函数f（x）=|2x-1|+|2x-3|，x∈R．
（1）解不等式f（x）≤5；
（2）若的定义域为R，求实数m的取值范围．