2013年河北省石家庄一中高考数学一模试卷（理科）（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

复数（ ）
A．i
B．-i
C．1-i
D．1+i

2. 难度：中等

下面四个条件中，使a＞b成立的充要条件是（ ）
A．a＞b+1
B．a＞b-1
C．a²＞b²
D．a³＞b³

3. 难度：中等

已知向量=（1，3），=（3，-1），且，则点P的坐标为（ ）
A．（2，-4）
B．（，-）
C．（，-）
D．（-2，4）

4. 难度：中等

函数f（x）=Asin（ωx+φ）（A，ω，φ）为常数，A＞0，ω＞0的部分图象如图所示，则f（0）的值为（ ）
A．
B．
C．0
D．-

5. 难度：中等

已知f（x）=2sinx+x³+1，（x∈R），若f（a）=3，则f（-a）的值为（ ）
A．-3
B．-2
C．-1
D．0

6. 难度：中等

已知实数x，y满足则z=|x+4y|的最大值为（ ）
A．9
B．17
C．5
D．15

7. 难度：中等

已知等差数列{a_n}的前n项和为S_n，a₄+a₇+a₁₀=9，S₁₄-S₃=77，则使S_n取得最小值时n的值为（ ）
A．4
B．5
C．6
D．7

8. 难度：中等

已知程序框图如图所示，当输入2与-2时，输出的值均为10，则输入1时输出的值为（ ）
A．2
B．4
C．6
D．8

9. 难度：中等

已知A、B、C是球O的球面上三点，三棱锥O-ABC的高为2且∠ABC=60°，AB=2，BC=4，则球O的表面积为（ ）
A．24π
B．32π
C．48π
D．192π

10. 难度：中等

设F₁，F₂分别为双曲线的左、右焦点，点P在双曲线的右支上，且|PF₂|=|₁FF₂|，F₂到直线PF₁的距离等于双曲线的实轴长，则该双曲线的离心率为（ ）
A．
B．
C．
D．

11. 难度：中等

已知点P在曲线y=e^x（e自然对数的底数）上，点Q在曲线y=lnx上，则丨PQ丨的最小值是（ ）
A．
B．2e
C．
D．e

12. 难度：中等

三棱锥的三组相对的棱（相对的棱是指三棱锥中成异面直线的一组棱）分别相等，且长各为、m、n，其中m²+n²=6，则该三棱锥体积的最大值为（ ）
A．
B．
C．
D．

二、填空题

13. 难度：中等

各项均为正数的等比数列{a_n}的前n项和为S_n，a₁=1，a₂•a₄=16则S₄=    ．

14. 难度：中等

天气预报说，在今后的三天中每一天下雨的概率均为40%，用随机模拟的方法进行试验，由1、2、3、4表示下雨，由5、6、7、8、9、0表示不下雨，利用计算器中的随机函数产生0〜9之间随机整数的20组如下：
907 966 191 925 271 932 812 458 569 683
431 257 393 027 556 488 730 113 537 989
通过以上随机模拟的数据可知三天中恰有两天下雨的概率近似为    ．

15. 难度：中等

设M，m分别是f（x）在区间[a，b]上的最大值和最小值，则m（b-a）≤f（x）dx≤M（b-a）由上述估值定理，估计定积分的取值范围是    ．

16. 难度：中等

已知动圆的圆心C在抛物线x²=2py（p＞0）上，该圆经过点A（0，p），且与x轴交于两点M、N，则sin∠MCN的最大值为    ．

三、解答题

17. 难度：中等

要测量河对岸的烟囱AB，而测量者又不能到达它的底部，现有测角仪和钢卷尺两种测量工具，请你设计一种测量方案．要求
（I）画出图形，指出要测量的数据（用字母表示并在图中标出）；
（II）用文字和公式写出计算烟囱高AB的步骤（测角仪的高度忽略不计）

18. 难度：中等

四棱锥的正视图和俯视图如图，其中俯视图是直角梯形．
（I ）若正视图是等边三角形，F为AC的中点，当点M在棱AD上移动时，是否总有BF丄CM，请说明理由；
（II）若平面ABC与平面ADE所成的锐二面角为45°，求直线AD与平面ABE所成角的正弦值．

19. 难度：中等

有一批货物需要用汽车从生产商所在城市甲运至销售商所在城市乙，已知从城市甲到城市乙只有两条公路，且通过这两条公路所用的时间互不影响．
据调查统计，通过这两条公路从城市甲到城市乙的200辆汽车所用时间的频数分布如下表：

所用的时间（天数）	10	11	12	13
通过公路1的频数	20	40	20	20
通过公路2的频数	10	40	40	10

假设汽车A只能在约定日期（某月某日）的前11天出发，汽车B只能在约定日期的前12天出发．
（I）为了尽最大可能在各自允许的时间内将货物运往城市乙，估计汽车A和汽车B应如何选择各自的路径；
（II）若通过公路1、公路2的“一次性费用”分别为3.2万元、1.6万元（其它费用忽略不计），此项费用由生产商承担．如果生产商恰能在约定日期当天将货物送到，则销售商一次性支付给生产商40万元，若在约定日期前送到，每提前一天销售商将多支付给生产商2万元；若在约定日期后送到，每迟到一天，销售商将少支付给生产商2万元．如果汽车A、B长期按（I）所选路径运输货物，试比较哪辆汽车为生产商获得的毛利润更大．
（注：毛利润=（销售商支付给生产商的费用）-（一次性费用））

20. 难度：中等

在平面直角坐标系xOy中，已知定点A（-2，0）、B（2，0），M是动点，且直线MA与直线MB的斜率之积为-，设动点M的轨迹为曲线C．
（I）求曲线C的方程；
（II ）过定点T（-1，0）的动直线l与曲线C交于P，Q两点，是否存在定点S（s，0），使得为定值，若存在求出s的值；若不存在请说明理由．

21. 难度：中等

已知函数f（x）=alnx+（a≠0）在（0，）内有极值．
（I）求实数a的取值范围；
（II）若x₁∈（0，），x₂∈（2，∞）且a∈[，2]时，求证：f（x₁）-f（x₂）≥ln2+．

22. 难度：中等

选修4-1几何证明选讲
已知△ABC中AB=AC，D为△ABC外接圆劣弧，上的点（不与点A、C重合），延长BD至E，延长AD交BC的延长线于F．
（I）求证．∠CDF=∠EDF
（II）求证：AB•AC•DF=AD•FC•FB．

23. 难度：中等

选修4-4坐标系与参数方程
在平面直角坐标系中，取原点为极点x轴正半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线C₁的极坐标方程为：ρ=2cosθ，直线C₂的参数方程为：（t为参数）
（I ）求曲线C₁的直角坐标方程，曲线C₂的普通方程．
（II）先将曲线C₁上所有的点向左平移1个单位长度，再把图象上所有点的横坐标伸长到原来的倍得到曲线C₃，P为曲线C₃上一动点，求点P到直线C₂的距离的最小值，并求出相应的P点的坐标．

24. 难度：中等

选修4-5不等式选讲
解不等式：．