1. 难度:中等 | |
下列各图是正方体或正四面体,P,Q,R,S分别是所在棱的中点,这四个点中不共面的一个图是( ) A. B. C. D. |
2. 难度:中等 | |
将正方体(如图1所示)截去两个三棱锥,得到图2所示的几何体,则该几何体的左视图为 ( ) A. B. C. D. |
3. 难度:中等 | |
某几何体的正视图和侧视图均如图所示,则该几何体的俯视图不可能是( ) A. B. C. D. |
4. 难度:中等 | |
一个几何体的三视图形状都相同,大小均相等,那么这个几何体不可以是( ) A.球 B.三棱锥 C.正方体 D.圆柱 |
5. 难度:中等 | |
一个体积为12的正三棱柱的三视图如图所示,则这个三棱柱的侧视图的面积为( ) A.6 B.8 C.8 D.12 |
6. 难度:中等 | |
如图是一个空间几何体的三视图,则该几何体的侧面积为( ) A. B. C.8 D.12 |
7. 难度:中等 | |
一个水平放置的平面图形的斜二测直观图是一个底角为45°,腰和上底边均为1的等腰梯形,则这个平面图形的面积是( ) A. B. C. D. |
8. 难度:中等 | |
设三棱柱ABC-A′B′C′的侧棱垂直于底面,AB=AC=2,∠BAC=90°,AA′=2,且三棱柱的所有顶点都在同一球面上,则该球的表面积是( ) A.4π B.8π C.16π D.12π |
9. 难度:中等 | |
在三棱锥S-ABC中,侧棱SC⊥平面SAB,SA⊥BC,侧面△SAB,△SBC,△SAC的面积分别为1,,3,则此三棱锥的外接球的表面积为( ) A.14π B. C. D. |
10. 难度:中等 | |
如图,一个正三棱柱的左(侧)视图是边长为的正方形,则它的外接球的表面积等于( ) A.8π B.π C.9π D.π |
11. 难度:中等 | |
已知四棱锥S-ABCD的所有顶点都在同一个球面上,底面ABCD是正方形且和球心O在同一平面内.当此四棱锥体积取得最大值时,其表面积等于,则球O的体积等于( ) A. B. C. D. |
12. 难度:中等 | |
在一个正方体的展开图中,5个正方形位置如图中阴影部分所示,第6个正方形在编号①到⑤的某个位置上,则第6个正方形所有可能位置的编号是( ) A.②③ B.②④ C.①③ D.③⑤ |
13. 难度:中等 | |
用单位立方块搭一个几何体,使它的主视图和俯视图如图所示,则它的体积的最小值与最大值分别为( ) A.9与13 B.7与10 C.10与16 D.10与15 |
14. 难度:中等 | |
l1,l2,l3是空间三条不同的直线,则下列命题正确的是( ) A.l1⊥l2,l2⊥l3⇒l1∥l3 B.l1⊥l2,l2∥l3⇒l1⊥l3 C.l1∥l2∥l3⇒l1,l2,l3共面 D.l1,l2,l3共点⇒l1,l2,l3共面 |
15. 难度:中等 | |
下列命题中正确的有几个( ) ①若△ABC在平面α外,它的三条边所在的直线分别交α于P、Q、R,则P、Q、R三点共线; ②若三条直线a、b、c互相平行且分别交直线l于A、B、C三点,则这四条直线共面; ③空间中不共面五个点一定能确定10个平面. A.0个 B.1个 C.2个 D.3个 |
16. 难度:中等 | |
关于两条不同的直线m、n与两个不同的平面α、β,下列命题正确的是( ) A.m∥α,n∥β且α∥β,则m∥n B.m⊥α,n⊥β且α⊥β,则m∥n C.m⊥α,n∥β且α∥β,则m⊥n D.m∥α,n⊥β且α⊥β,则m∥n |
17. 难度:中等 | |
给出下列四个命题: ①垂直于同一直线的两条直线互相平行. ②垂直于同一平面的两个平面互相平行. ③若直线l1,l2与同一平面所成的角相等,则l1,l2互相平行. ④若直线l1,l2是异面直线,则与l1,l2都相交的两条直线是异面直线. 其中假命题的个数是( ) A.1 B.2 C.3 D.4 |
18. 难度:中等 | |
设m、n是平面α内的两条不同直线,l1,l2是平面β内两条相交直线,则α⊥β的一个充分不必要条件是( ) A.l1⊥m,l1⊥n B.m⊥l1,m⊥l2 C.m⊥l1,n⊥l2 D.m∥n,l1⊥n |
19. 难度:中等 | |
一个正方体的展开图如图所示,A、B、C、D为原正方体的顶点,则在原来的正方体中( ) A.AB∥CD B.AB与CD相交 C.AB⊥CD D.AB与CD所成的角为60° |
20. 难度:中等 | |
如图是一个几何体的平面展开图,其中ABCD为正方形,E、F分别为PA、PD的中点,在此几何体中,给出下面四个结论: ①直线BE与直线CF异面; ②直线BE与直线AF异面; ③直线EF∥平面PBC; ④平面BCE⊥平面PAD. 其中正确结论的个数是( ) A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 |
21. 难度:中等 | |
给出下列命题: ①若平面α上的直线a与平面β上的直线b为异面直线,直线c是α与β的交线,那么c至多与a、b中的一条相交; ②若直线a与b异面,直线b与c异面,则直线a与c异面; ③一定存在平面α同时和异面直线a、b都平行. 其中正确的命题为( ) A.① B.② C.③ D.①③ |
22. 难度:中等 | |
已知三棱柱ABC-A1B1C1的侧棱与底面边长都相等,A1在底面ABC上的射影为BC的中点,则异面直线AB与CC1所成的角的余弦值为( ) A. B. C. D. |
23. 难度:中等 | |
对于平面α和共面的直线m,n,下列命题是真命题的是( ) A.若m,n与α所成的角相等,则m∥n B.若m∥α,n∥α,则m∥n C.若m⊥α,m⊥n,则n∥α D.若m⊂α,n∥α,则m∥n |
24. 难度:中等 | |
知直线l、m、n及平面α,下列命题中的假命题是( ) A.若l∥m,m∥n,则l∥n B.若l⊥α,n∥α,则l⊥n C.若l⊥m,m∥n,则l⊥n D.若l∥α,n∥α,则l∥n |
25. 难度:中等 | |
平面α∥平面β的一个充分条件是( ) A.存在一条直线a,a∥α,a∥β B.存在一条直线a,a⊂α,a∥β C.存在两条平行直线a,b,a⊂α,b⊂β,a∥β,b∥α D.存在两条异面直线a,b,a⊂α,b⊂β,a∥β,b∥α |
26. 难度:中等 | |
已知m,n是两条不同直线,α,β,γ是三个不同平面,下列命题中正确的是( ) A.若m∥α,n∥α,则m∥n B.若α⊥γ,β⊥γ,则α∥β C.若m∥α,m∥β,则α∥β D.若m⊥α,n⊥α,则m∥n |
27. 难度:中等 | |
直观图(如图)中,四边形O′A′B′C′为菱形且边长为2cm,则在xOy坐标中四边形ABCD为 ,面积为 cm2. |
28. 难度:中等 | |
等腰梯形ABCD,上底边CD=1,腰AD=CB=,下底AB=3,按平行于上、下底边取x轴,则直观图A′B′C′D′的面积为 . |
29. 难度:中等 | |
一个三角形在其直观图中对应一个边长为1正三角形,原三角形的面积为 . |
30. 难度:中等 | |
一个几何体的三视图如图所示,则该几何体的表面积为 . |
31. 难度:中等 | |
如图,三棱锥V-ABC的底面为正三角形,侧面VAC与底面垂直且VA=VC,已知其主视图的面积为,则其左视图的面积为 . |
32. 难度:中等 | |
一个三棱锥的三视图,如图所示,则该三棱锥的外接球的体积为 . |
33. 难度:中等 | |
如图所示,已知三棱锥P-ABC的各顶点均在一个半径为R的球面上,球心0在AB上,P0⊥平面ABC,,则三棱锥与球的体积之比为 . |
34. 难度:中等 | |
如图所示,在边长为4的正方形纸片ABCD中,AC与BD相交于O,剪去△AOB,将剩余部分沿OC、OD折叠,使OA、OB重合,则以A、(B)、C、D、O为顶点的四面体的体积为 . |
35. 难度:中等 | |
如图,已知正三棱柱ABC-A1B1C1的底面边长为2cm,高位5cm,一质点自A点出发,沿着三棱柱的侧面绕行两周到达A1点的最短路线的长为 cm. |
36. 难度:中等 | |
图2中实线围成的部分是长方体(图1)的平面展开图,其中四边形ABCD是边长为1的正方形.若向虚线围成的矩形内任意抛掷一质点,它落在长方体的平面展开图内的概率是,则此长方体的体积是 . |
37. 难度:中等 | |
对于四面体ABCD,下列命题正确的序号是 . ①相对棱AB与CD所在的直线异面; ②由顶点A作四面体的高,其垂足是△BCD的三条高线的交点; ③若分别作△ABC和△ABD的边AB上的高,则这两条高所在直线异面; ④分别作三组相对棱中点的连线,所得的三条线段相交于一点; ⑤最长棱必有某个端点,由它引出的另两条棱的长度之和大于最长棱. |
38. 难度:中等 | |
给定下列四个命题: ①若一个平面内的两条直线与另一个平面都平行,那么这两个平面相互平行; ②若一个平面经过另一个平面的垂线,那么这两个平面相互垂直; ③垂直于同一直线的两条直线相互平行; ④若两个平面垂直,那么一个平面内与它们的交线不垂直的直线与另一个平面也不垂直. 其中,为真命题的是 . |
39. 难度:中等 | |
如图,在正三角形ABC中,D,E,F分别为各边的中点,G,H分别为DE,AF的中点,将△ABC沿DE,EF,DF折成正四面体P-DEF,则四面体中异面直线PG与DH所成的角的余弦值为 . |
40. 难度:中等 | |
已知球的半径为R,在球内作一个内接圆柱,这个圆柱底面半径与高为何值时,它的侧面积最大?侧面积的最大值是多少? |
41. 难度:中等 | |
已知E、F分别是棱长为a的正方体ABCD-A1B1C1D1的棱A1A、CC1的中点,求四棱锥C1-B1EDF的体积. |
42. 难度:中等 | |
已知一个几何体的三视图如图所示. (1)求此几何体的表面积; (2)如果点P,Q在正视图中所示位置:P为所在线段中点,Q为顶点,求在几何体表面上,从P点到Q点的最短路径的长. |
43. 难度:中等 | |
如图(1),边长为2的正方形ABEF中,D,C分别为EF,AF上的点,且ED=CF,现沿DC把△CDF剪切、拼接成如图(2)的图形,再将△BEC,△CDF,△ABD沿BC,CD,BD折起,使E,F,A三点重合于点A′. (1)求证:BA′⊥CD; (2)求四面体B-A′CD体积的最大值. |
44. 难度:中等 | |
已知一个圆锥的底面半径为R,高为H,在其内部有一个高为2的内接圆柱. (1)求圆柱的侧面积: (2)高为何值时,圆柱的侧面积最大? |
45. 难度:中等 | |
如图,A1A是圆柱的母线,AB是圆柱底面圆的直径,C是底面圆周上异于A、B的任=A意一点,A1A=AB=2. (1)求证:BC⊥平面A1AC; (2)求三棱锥A1-ABC的体积的最大值. |
46. 难度:中等 | |
如图,平面ABEF⊥平面ABCD,四边形ABEF与ABCD都是直角梯形,∠BAD=∠FAB=90°,BC,BE,G,H分别为FA,FD的中点 (Ⅰ)证明:四边形BCHG是平行四边形; (Ⅱ)C,D,F,E四点是否共面?为什么? (Ⅲ)设AB=BE,证明:平面ADE⊥平面CDE. |
47. 难度:中等 | |
如图所示,正方体ABCD-A1B1C1D1,E,F分别是AD,AA1的中点. (1)求直线EF和直线AB1所成的角的大小; (2)求二面角D-A1C1-D1的正切值. |
48. 难度:中等 | |
在长方体ABCD-A1B1C1D1中,AB=3,BC=AA1=4,点O是AC的中点. (1)求证:AD1∥平面DOC1; (2)求异面直线AD1和DC1所成角的余弦值. |
49. 难度:中等 | |
如图,如图,已知在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是矩形,PA⊥平面ABCD,E、F分别是AB、PD的中点. (Ⅰ)求证:AF∥平面PEC; (Ⅱ)若PD与平面ABCD所成角为60°,且AD=2,AB=4,求点A到平面PED的距离. |
50. 难度:中等 | |
如图,直三棱柱ABC-A1B1C1中,∠ACB=90°,M,N分别为A1B,B1C1的中点. (1)求证BC∥平面MNB1; (2)求证平面A1CB⊥平面ACC1A1. |
51. 难度:中等 | |
在正方体ABCD-A1B1C1D1中,M,N分别是AB,BC的中点. (1)求证:平面B1MN⊥平面BB1D1D; (2)若在棱DD1上有一点P,使BD1∥平面PMN,求线段DP与PD1的比. |
52. 难度:中等 | |
如图所示的多面体ABCDE中,已知AB∥DE,AB⊥AD,△ACD是正三角形,AD=DE=2AB=2,BC=,F是CD的中点. (1)求证:AF∥平面BCE; (2)求直线CE与平面ABED所成角的余弦值; (3)求多面体ABCDE的体积. |
53. 难度:中等 | |
在正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,E为AD中点,F为B1C1中点. (Ⅰ)求证:A1F∥平面ECC1; (Ⅱ)在CD上是否存在一点G,使BG⊥平面ECC1?若存在,请确定点G的位置,并证明你的结论;若不存在,请说明理由. |
54. 难度:中等 | |
如图,已知BC是半径为1的半圆O的直径,A是半圆周上不同于B,C的点,F为的中点.梯形ACDE中,DE∥AC,且AC=2DE,平面ACDE⊥平面ABC.求证: (1)平面ABE⊥平面ACDE; (2)平面OFD∥平面BAE. |
55. 难度:中等 | |
如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,M、N、P分别是C1C、B1C1、C1D1的中点,求证: (1)AP⊥MN; (2)平面MNP∥平面A1BD. |
56. 难度:中等 | |
如图,过S引三条长度相等但不共面的线段SA、SB、SC,且∠ASB=∠ASC=60°,∠BSC=90°,求证:平面ABC⊥平面BSC. |
57. 难度:中等 | |
如图所示,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD为矩形,PA⊥平面ABCD,点 E 在线段 PC 上,PC⊥平面BDE. (1)证明:BD⊥平面PAC; (2)若PA=1,AD=2,求二面角B-PC-A的正切值. |
58. 难度:中等 | |
如图,在直角梯形ABEF中,将四边形DCEF沿CD折起,使∠FDA=60°,得到一个空间几何体如图所示. (1)求证:BE∥平面ADF; (2)求证:AF⊥平面ABCD; (3)求三棱锥E-BCD的体积. |
59. 难度:中等 | |
如图,在多面体ABCDEF中,四边形ABCD是矩形,在四边形ABFE中,AB∥EF,∠EAB=90°,AB=4,AD=AE=EF=2,平面ABFE⊥平面ABCD. (1)求证:AF⊥平面BCF; (2)求二面角B-FC-D的大小. |
60. 难度:中等 | |
如图,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD为平行四边形,∠ADC=45°,AD=AC=1,O为AC中点,PO⊥平面ABCD,PO=2,M为PD中点. (Ⅰ)证明:PB∥平面ACM; (Ⅱ)证明:AD⊥平面PAC; (Ⅲ)求直线AM与平面ABCD所成角的正切值. |
61. 难度:中等 | |
如图,在圆锥PO中,已知PO=,⊙O的直径AB=2,C是的中点,D为AC的中点. (Ⅰ)证明:平面POD⊥平面PAC; (Ⅱ)求二面角B-PA-C的余弦值. |
62. 难度:中等 | |
如图所示,在三棱锥P-ABC中,△PAC和△PBC是边长为的等边三角形,AB=2,O是AB的中点. (1)在棱PA上求一点M,使得OM∥平面PBC; (2)求证:平面PAB⊥平面ABC. |
63. 难度:中等 | |
如图已知在三棱柱ABC-A1B1C1中,AA1⊥面ABC,AC=BC,M,N,P,Q分别是AA1,BB1,AB,B1C1的中点, (1)求证:面PCC1⊥面MNQ; (2)求证:PC1∥面MNQ. |
64. 难度:中等 | |
如图,在四棱锥S-ABCD中,底面ABCD为矩形,SA⊥平面ABCD,二面角S-CD-A的平面角为45°,M为AB中点,N为SC中点. (1)证明:MN∥平面SAD; (2)证明:平面SMC⊥平面SCD; (3)若,求实数λ的值,使得直线SM与平面SCD所成角为30°. |
65. 难度:中等 | |
如图是一几何体的直观图、主视图、俯视图、左视图. (1)若F为PD的中点,求证:AF⊥面PCD; (2)证明BD∥面PEC. |
66. 难度:中等 | |
如图为一简单组合体,其底面ABCD为正方形,PD⊥平面ABCD,EC∥PD,且PD=AD=2EC=2. (1)请画出该几何体的三视图; (2)求四棱锥B-CEPD的体积. |
67. 难度:中等 | |
某高速公路收费站入口处的安全标识墩如图(1)所示.墩的上半部分是正四棱锥P-EFGH,下半部分是长方体ABCD-EFGH.图(2)、图(3)分别是该标识墩的正(主)视图和俯视图. (1)请画出该安全标识墩的侧(左)视图; (2)求该安全标识墩的体积; (3)证明:直线BD⊥平面PEG. |
68. 难度:中等 | |
已知四边形ABCD是等腰梯形,AB=3,DC=1,∠BAD=45°,DE⊥AB(如图1).现将△ADE沿DE折起,使得AE⊥EB(如图2),连接AC,AB,设M是AB的中点. (1)求证:BC⊥平面AEC; (2)判断直线EM是否平行于平面ACD,并说明理由. |
69. 难度:中等 | |
如图1中矩形ABCD中,已知AB=2,,MN分别为AD和BC的中点,对角线BD与MN交于O点,沿MN把矩形ABNM折起,使平面ABNM与平面MNCD所成角为60°,如图2 (1)求证:BO⊥DO; (2)求AO与平面BOD所成角的正弦值. |
70. 难度:中等 | |
已知菱形ABDC的边长为2,对角线AC与BD交于点O,且∠ABC=120°,M为BC的中点.将此菱形沿对角线BD折成直二面角A-BD-C. (I)求证:AC⊥BD; (II)求直线AM与面AOC所成角的余弦值大小. |
71. 难度:中等 | |
如图1,在边长为3的正三角形ABC中,E,F,P分别为AB,AC,BC上的点,且满足AE=FC=CP=1.将△AEF沿EF折起到△A1EF的位置,使平面A1EF⊥平面EFB,连接A1B,A1P.(如图2) (Ⅰ)若Q为A1B中点,求证:PQ∥平面A1EF; (Ⅱ)求证:A1E⊥EP. |