2011年上海市浦东新区高考数学三模试卷（理科）（解析版）

一、填空题

1. 难度：中等

函数的定义域为    ．

2. 难度：中等

若行列式，则x=    ．

3. 难度：中等

若椭圆的一个焦点与圆x²+y²-2x=0的圆心重合，且经过，则椭圆的标准方程为    ．

4. 难度：中等

若集合A={x||x|＜1，x∈R}，B={y|y=x²，x∈R}，则A∩C_RB=    ．

5. 难度：中等

已知一个关于x，y的二元线性方程组的增广矩阵是，则x+y=    ．

6. 难度：中等

已知（其中a，b为常数），则a²+b²=    ．

7. 难度：中等

样本容量为200的频率分布直方图如图所示．根据样本的频率分布直方图估计，样本数据落在[6，10）内的频数为    ．

8. 难度：中等

（1+x）⁵展开式中不含x³项的系数的和为    ．

9. 难度：中等

在△ABC中，若AB=1，BC=5，且，则sinC=    ．

10. 难度：中等

某年级共有210名同学参加数学期中考试，随机抽取10名同学成绩如下：

成绩（分）	50	61	73	85	90	94
人数	2	2	1	2	1	2

则总体标准差的点估计值为    （结果精确到0.01）．

11. 难度：中等

甲乙射击运动员分别对一目标射击一次，甲射中的概率为0.8，乙射中的概率为0.9，则两人中至少有1人射中的概率为    ．

12. 难度：中等

在极坐标系中，定点，动点B在曲线ρ=2cosθ上移动，当线段AB最短时，点B的极径为    ．

13. 难度：中等

在平面直角坐标系中，定义d（P，Q）=|x₁-x₂|+|y₁-y₂|为两点P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂）之间的“折线距离”．则原点O（0，0）与直线上一点P（x，y）的“折线距离”的最小值是    ．

14. 难度：中等

如图放置的边长为1的正方形PABC沿x轴滚动．设顶点P（x，y）的轨迹方程是y=f（x），则y=f（x）在其两个相邻零点间的图象与x轴所围区域的面积为    ．

二、选择题

15. 难度：中等

如图给出了一个程序框图，其作用是输入x的值，输出相应的y值．若要使输入的x值与输出的y值相等，则这样的x值有（ ）

A．1个
B．2个
C．3个
D．4个

16. 难度：中等

若△ABC的面积，则夹角的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．

17. 难度：中等

如图，正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁的棱长为6，动点E、F在棱A₁B₁上，动点P、Q分别在棱AD、CD上，若EF=2，DQ=x，AP=y，则四面体PEFQ的体积（ ）

A．与x，y都无关
B．与x有关，与y无关
C．与x、y都有关
D．与x无关，与y有关

18. 难度：中等

已知关于x的方程，其中、、都是非零向量，且、不共线，则该方程的解的情况是（ ）
A．至多有一个解
B．至少有一个解
C．至多有两个解
D．可能有无数个解

三、解答题

19. 难度：中等

已知虚数z₁=cosα+isinα，z₂=cosβ+isinβ，
（1）若，求cos（α-β）的值；
（2）若z₁，z₂是方程3x²-2x+c=0的两个根，求实数c的值．

20. 难度：中等

如图，用一平面去截球O，所得截面面积为16π，球心O到截面的距离为3cm，O₁为截面小圆圆心，AB为截面小圆的直径．
（1）计算球O的表面积；
（2）若C是截面小圆上一点，∠ABC=30°，M、N分别是线段AO₁和OO₁的中点，求异面直线AC与MN所成的角（结果用反三角函数表示）．

21. 难度：中等

某企业投入81万元经销某产品，经销时间共60个月，市场调研表明，该企业在经销这个产品期间第x个月的利润（单位：万元），为了获得更多的利润，企业将每月获得的利润投入到次月的经营中，记第x个月的当月利润率，例如：．
（1）求g（10）；
（2）求第x个月的当月利润率g（x）；
（3）该企业经销此产品期间，哪个月的当月利润率最大，并求该月的当月利润率．

22. 难度：中等

某同学将命题“在等差数列{a_n}中，若p+m=2n，则有a_p+a_m=2a_n（p，m，n∈N^*）”改写成：“在等差数列{a_n}中，若1×p+1×m=2×n，则有1×a_p+1×a_m=2×a_n（p，m，n∈N^*）”，进而猜想：“在等差数列{a_n}中，若2p+3m=5n，则有2a_p+3a_m=5a_n（p，m，n∈N^*）．”
（1）请你判断以上同学的猜想是否正确，并说明理由；
（2）请你提出一个更一般的命题，使得上面这位同学猜想的命题是你所提出命题的特例，并给予证明．
（3）请类比（2）中所提出的命题，对于等比数列{b_n}，请你写出相应的命题，并给予证明．

23. 难度：中等

已知椭圆C的长轴长是焦距的两倍，其左、右焦点依次为F₁、F₂，抛物线M：y²=4mx（m＞0）的准线与x轴交于F₁，椭圆C与抛物线M的一个交点为P．
（1）当m=1时，求椭圆C的方程；
（2）在（1）的条件下，直线l过焦点F₂，与抛物线M交于A、B两点，若弦长|AB|等于△PF₁F₂的周长，求直线l的方程；
（3）由抛物线弧y²=4mx和椭圆弧
（m＞0）合成的曲线叫“抛椭圆”，是否存在以原点O为直角顶点，另两个顶点A₁、A₂落在“抛椭圆”上的等腰直角三角形OA₁A₂，若存在，求出两直角边所在直线的斜率；若不存在，说明理由．