2009年湖北省八市高三三月调考数学试卷（理科）（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

设集合M={x|x≥2}，P={x|x＞1}那么“x∈M∪P”是“x∈M∩P”的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件

2. 难度：中等

若（1+5x）ⁿ的展开式中各项系数之和为a_n，（7x²+1）ⁿ的展开式中各项的二项式系数之和为b_n，则的值是（ ）
A．
B．
C．1
D．-

3. 难度：中等

S_n为等差数列{a_n}的前n项和，S₉=-36，S₁₃=-104，等比数列{b_n}中，b₅=a₅，b₇=a₇，则b₆等于（ ）
A．4
B．±2
C．±4
D．32

4. 难度：中等

给出下列四个命题：
①若直线l⊥平面α，l∥平面β，则α⊥β；
②各侧面都是正方形的棱柱一定是正棱柱；
③一个二面角的两个半平面所在平面分别垂直于另一个二面角的两个半平面所在平面，则这两个二面角的平面角互为补角；
④过空间任意一点一定可以作一个和两条异面直线都平行的平面．
其中正确的命题的个数有（ ）
A．1
B．2
C．3
D．4

5. 难度：中等

某一批袋装大米，质量服从正态分布N（10，0.01）（单位：kg），任选一袋大米，它的质量是9.8kg～10.2kg内的概率为（已知Φ（1）=0.8413，Φ（2）=0.9772）（ ）
A．0.8413
B．0.9544
C．0.9772
D．0.6826

6. 难度：中等

已知正数x、y满足等式x+y-2xy+4=0，则（ ）
A．xy的最大值是4，且x+y的最小值是4
B．xy的最小值是4，且x+y的最大值是4
C．xy的最大值是4，且x+y的最大值是4
D．xy的最小值是4，且x+y的最小值是4

7. 难度：中等

在航天员进行的一项太空实验中，要先后实施6个程序，其中程序A只能出现在第一步或最后一步，程序B和C实施时必须相邻，请问实验顺序的编排方法共有（ ）
A．24种
B．48种
C．96种
D．144种

8. 难度：中等

已知函数f（x）=xln（ax）+e^x-1在点（1，0）处切线经过椭圆4x²+my²=4m的右焦点，则椭圆两准线间的距离为（ ）
A．6
B．8
C．10
D．18

9. 难度：中等

已知点F₁、F₂分别是双曲线=1的左、右焦点，过F₁且垂直于x轴的直线与双曲线交于A、B两点，若A、B和双曲线的一个顶点构成的三角形为锐角三角形，则该双曲线的离心率e的取值范围是（ ）
A．（1，1+）
B．（1，）
C．（-1，1+）
D．（1，2）

10. 难度：中等

已知函数，若方程f（x）=x+a有且只有两个不相等的实数根，则实数a的取值范围是（ ）
A．（-∞，1]
B．（0，1）
C．[0，+∞）
D．（-∞，1）

二、填空题

11. 难度：中等

已知复数z₁=3-i，z₂=2i-l，则复数-的虚部等于     ．

12. 难度：中等

半径为1的球内切于正三棱柱，则正三棱柱的体积为    ．

13. 难度：中等

已知点P（x，y）满足条件（k为常数），若z=x+3y的最大值为8，则k=    ．

14. 难度：中等

在三角形ABC中，，M为BC边的中点，则中线AM的长为    ，△ABC的面积的最大值为    ．

15. 难度：中等

给出定义：在数列{a_n}中，都有（ p为常数），则称{a_n}为“等方差数列”．下列是对“等方差数列”的判断：
（1）数列{a_n}是等方差数列，则数列是等差数列；
（2）数列{（-1）ⁿ}是等方差数列；
（3）若数列{a_n}既是等方差数列，又是等差数列，则该数列必为常数数列；
（4）若数列{a_n}是等方差数列，则数列{a_kn}（ k∈N^*，k为常数）也是等方差数列．
其中正确命题序号为    ．

三、解答题

16. 难度：中等

已知向量=（cos，sin），=（cos，-sin），且x∈[0，]；
（I）求及||；
（II）若f（x）=-|+|sinx，求f（x）的最大值与最小值．

17. 难度：中等

下面玩掷骰子放球游戏，若掷出1点或6点，甲盒放一球；若掷出2点，3点，4点或5点，乙盒放一球，设掷n次后，甲、乙盒内的球数分别为x、y．
（1）当n=3时，设x=3，y=0的概率；
（2）当n=4时，设|x-y|=ξ，求ξ的分布列及数学期望Eξ．

18. 难度：中等

如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是边长为2的正方形，PB⊥BC，PD⊥CD，且PA=2，E点满足．
（1）证明：PA⊥平面ABCD；
（2）求二面角E-AC-D的余弦值．
（3）在线段BC上是否存在点F，使得PF∥平面EAC？若存在，确定点F的位置，若不存在请说明理由．

19. 难度：中等

某种商品的成本为5元/件，开始按8元/件销售，销售量为50件，为了获取最大利润，商家先后采取了提价与降价两种措施进行试销．经试销发现：销售价每上涨1元每天销售量就减少10件；而降价后，日销售量Q （件）与实际销售价x （元）满足关系Q=
（1）求总利润（利润=销售额-成本）y（元）与实际销售价x（件）的函数关系式；
（2）试问：当实际销售价为多少元时，总利润最大．

20. 难度：中等

已知A（-1，0）、B（3，0），M、N是圆O：x²+y²=1上的两个动点，且M、N关于x轴对称，直线AM与BN交于P点．
（1）求P点的轨迹C的方程；
（2）设动直线l：y=k（x+）与曲线C交于S、T两点．求证：无论k为何值时，以动弦ST为直径的圆总与定直线x=-相切．

21. 难度：中等

已知数列{a_n}满足：．
（Ⅰ）求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）证明：；
（Ⅲ）设，且，证明：．