2008年江苏省苏锡常镇四市高考数学一模试卷（解析版）

一、填空题

1. 难度：中等

设集合A={x|-1＜x＜4}，B={x|2＜x＜6}，则A∩B=    ．

2. 难度：中等

已知双曲线的一条渐近线方程为y=x，则实数m等于    ．

3. 难度：中等

有100辆汽车在一个时段经过某一雷达测速区，这些汽车运行时速的频率分布直方图如图所示，则时速超过60km/h的汽车数量约为    辆．

4. 难度：中等

设直线x=m分别交函数y=sinx、的图象于M、N两点，则M、N的距离的最大值为    ．

5. 难度：中等

已知向量，向量满足∥，且，则=    ．

6. 难度：中等

当x=3时，下面算法输出的结果是    ．

7. 难度：中等

一个几何体的三视图如图所示，则它的体积V=    ．

8. 难度：中等

在复平面内，复数对应的点位于第    象限．

9. 难度：中等

在正三棱锥P-ABC中，D，E分别是AB，BC的中点，有下列三个结论：①AC⊥PB； ②AC∥平面PDE；③AB⊥平面PDE．则所有正确结论的序号是    ．

10. 难度：中等

已知曲线上一点P（1，e）处的切线分别交x轴，y轴于A，B两点，O为原点，则△OAB的面积为    ．

11. 难度：中等

设S_n表示等比数列{a_n}（n∈N^*）的前n项和，已知，则=    ．

12. 难度：中等

有一个质地均匀的正四面体，它的四个面上分别标有1，2，3，4这四个数字．现将它连续抛掷3次，其底面落于桌面，记三次在正四面体底面的数字和为S，则“S恰好为4”的概率为    ．

13. 难度：中等

观察下列算式，猜测由此表提供的一般法则，用适当的数学式子表示它．则这个式子为    ．

14. 难度：中等

水管或煤气管的外部经常需要包扎，以便对管道起保护作用，包扎时用很长的带子缠绕在管道外部．若需要使带子全部包住管道且没有重叠的部分（不考虑管子两端的情况，如图所示），这就要精确计算带子的“缠绕角度α”（α指缠绕中将部分带子拉成图中所示的平面ABCD时的∠ABC，其中AB为管道侧面母线的一部分）．若带子宽度为1，水管直径为2，则“缠绕角度”α的余弦值为    ．

二、解答题

15. 难度：中等

在△ABC中，已知a、b、c分别是角A、B、C的对边，不等式x²cosC+4xsinC+6≥0对一切实数x恒成立．
（1）求角C的最大值；
（2）若角C取得最大值，且a=2b，求角B的大小．

16. 难度：中等

已知四边形ABCD是等腰梯形，AB=3，DC=1，∠BAD=45°，DE⊥AB（如图1）．现将△ADE沿DE折起，使得AE⊥EB（如图2），连接AC，AB，设M是AB的中点．
（1）求证：BC⊥平面AEC；
（2）判断直线EM是否平行于平面ACD，并说明理由．

17. 难度：中等

已知中心在原点O，焦点在x轴上的椭圆C的离心率为，点A，B分别是椭圆C的长轴、短轴的端点，点O到直线AB的距离为．
（1）求椭圆C的标准方程；
（2）已知点E（3，0），设点P、Q是椭圆C上的两个动点，满足EP⊥EQ，求的取值范围．

18. 难度：中等

在平面直角坐标系中，直线y=-2x+5上有一系列点：P（1，3），P₁（x₁，y₁），P₂（x₂，y₂），…，P_n（x_n，y_n），…．已知数列（n∈N^*）是首项为，公差为1的等差数列．
（1）求数列{x_n}（n∈N^*）和数列{y_n}（n∈N^*）的通项公式；
（2）是否存在一个半径最小的圆C，使得对于一切n∈N，点P_n（x_n，y_n）均在此圆内部（包括圆周）？若存在，求出此圆的方程；若不存在，请说明理由．

19. 难度：中等

某工厂统计资料显示，一种产品次品率p与日产量x（x∈N^*，80≤x≤100）件之间的关系如下表所示：

日产量x	80	81	82	…	x	…	98	99	100
次品率p				…	P（x）	…

其中P（x）=（a为常数）．已知生产一件正品盈利k元，生产一件次品损失元（k为给定常数）．
（1）求出a，并将该厂的日盈利额y（元）表示为日生产量x（件）的函数；
（2）为了获得最大盈利，该厂的日生产量应该定为多少件？

20. 难度：中等

已知a为实数，函数f（x）=x²-2alnx．
（1）求f（x）在[1，+∞）上的最小值g（a）；
（2）若a＞0，试证明：“方程f（x）=2ax有唯一解”的充要条件是“”．