2010年5月湖北省襄樊五中高考数学模拟试卷（文科）（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

不等式|x+3|+|x-1|≥a²-3a对任意实数x恒成立，则实数a的取值范围为（ ）
A．（-∞，-2]∪[4，+∞）
B．[-1，4]
C．[1，2]
D．（-∞，1]∪[2，+∞）

2. 难度：中等

设m，n，l是三条不同的直线，α，β，γ是三个不同的平面，则下列命题中的真命题是（ ）
A．若m，n，l所成的角相等，则m∥n
B．若α∥β，m⊂α，则m∥β
C．若m，n与α所成的角相等，则m∥n
D．若γ与平面α，β所成的角相等，则α∥β

3. 难度：中等

若不等式组所表示的平面区域被直线分为面积相等的两部分，则k的值是（ ）
A．
B．
C．
D．

4. 难度：中等

某校高三年级共1200名学生，现采用分层抽样方法抽取一个容量为200的样本进行健康状况调查，若抽到男生比女生多10人，则该校男生共有（ ）
A．700
B．660
C．630
D．610

5. 难度：中等

某中学在新课改活动中，成立了机器人小组，他们在一次实验中，要观察坐标平面内沿一正方形四周运动的质点，为了记录这个质点的任何时刻的运动数据和位置，特在垂直于坐标平面原点的正上方1个单位长度处安装一探测仪，它的探测范围是以自身为球心，半径可调节的球，现已知质点运动轨迹的正方形四个顶点为（0，0）、（1，0）、（1，1）、（0，1），那么探测仪的探测半径最少要调到（ ）
A．1
B．2
C．
D．

6. 难度：中等

函数的图象（ ）
A．关于点（1，0）对称
B．关于点（-1，0）对称
C．关于点（0，1）对称
D．关于点（0，-1）对称

7. 难度：中等

直线与圆x²+y²=1相交于A、B两点（其中a，b是实数），且△AOB是直角三角形（O是坐标原点），则点P（a，b）与点（0，1）之间距离的最小值为（ ）
A．0
B．
C．
D．

8. 难度：中等

等比数列{a_n}的公比为q，则“a₁＞0，且q＞1”是“对于任意正自然数n，都有a_n+1＞a_n”的（ ）
A．充分非必要条件
B．必要非充分条件
C．充要条件
D．既非充分又非必要条件

9. 难度：中等

曲线在点x=1处的切线为m，在点x=0处的切线为n，则直线m与n的夹角的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．

10. 难度：中等

△ABC内接于以O为圆心，半径为1的圆，且，则△ABC的面积为（ ）
A．1
B．
C．
D．

二、填空题

11. 难度：中等

某中学高一有男生300人，女生200人，高二有男生400人，女生300人，高三有男生450人，女生350人，现在该中学抽取部分学生进行课改阅读情况调查，已知每一个学生被抽到的概率均为，则抽出的样本中女生人数是    ．

12. 难度：中等

若圆O₁：x²+y²=36与圆O₂：（x-m）²+y²=64（m∈R）相交于A、B两点，且两圆在点A处的切线互相垂直，则线段AB的长度是    ．

13. 难度：中等

如图，在半径为3的球面上有A、B、C三点，∠ABC=90°，BA=BC，球心O到平面ABC的距离是，则B、C两点的球面距离是    ．

14. 难度：中等

函数y=log₂（x²-ax+2）在[2，+∞）上恒为正，则实数a的取值范围是    ．

15. 难度：中等

过点P（0，-a）作直线l与抛物线C：x²=4ay（a＞0）相交于A、B两点，F为C的焦点，若|FA|=2|FB|，则直线l的斜率为    ．

三、解答题

16. 难度：中等

已知向量，=（sinB，1-cosB），且向量与向量=（2，0）的夹角，其中A、B、C是△ABC的内角．
（1）求角B的大小；
（2）求cosA•cosC的取值范围．

17. 难度：中等

如图，在正三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，D、E、G分别是AB、BB₁、AC₁的中点，AB=BB₁=2．
（Ⅰ）在棱B₁C₁上是否存在点F使GF∥DE？如果存在，试确定它的位置；如果不存在，请说明理由；
（Ⅱ）求截面DEG与底面ABC所成锐二面角的正切值．

18. 难度：中等

设函数f（x）=x²-2tx+4t³+t²-3t+3，其中x∈R，t∈R，将f（x）的最小值记为g（t）．
（1）求g（t）的表达式；
（2）讨论g（t）在区间[-1，1]内的单调性；
（3）若当t∈[-1，1]时，|g（t）|≤k恒成立，其中k为正数，求k的取值范围．

19. 难度：中等

如图的程序可产生一系列随机数，其工作原理如下：
①从集合D中随机抽取1个数作为自变量x输入；
②从函数f（x）与g（x）中随机选择一个作为H（x）进行计算；
③输出函数值y．
若D={1，2，3，4，5}，f（x）=3x+1，g（x）=x²，
（1）求y=4的概率；
（2）将程序运行4次，求恰好有2次的输出结果是奇数的概率．

20. 难度：中等

如图是一个三角形数阵（x≠0，-1），从第二行起每个数都等于它肩上两个数的和，第k行的第一个数为a_k（1≤k≤n，n≥2，k、n∈N^*）．
（Ⅰ）写出a_k关于k的表达式：a_k=f（k）；
（Ⅱ）求第k行中所有数的和T_k；
（Ⅲ）当x=1时，求数阵中所有数的和S_n=T₁+T₂+…+T_n．

21. 难度：中等

已知函数f（x）=x²+（a-3）x+a²-3a（a为常数）．
（1）如果对任意x∈[1，2]，f（x）＞a²恒成立，求实数a的取值范围；
（2）设实数p，q，r满足：p，q，r中的某一个数恰好等于a，且另两个恰为方程f（x）=0的两实根，判断①p+q+r，②p²+q²+r²，③p³+q³+r³是否为定值？若是定值请求出：若不是定值，请把不是定值的表示为函数g（a），并求g（a）的最小值；
（3）对于（2）中的g（a），设，数列{a_n}满足a_n+1=H（a_n）（n∈N^*），且a₁∈（0，1），试判断a_n+1与a_n的大小，并证明之．