2011年河南省新乡、许昌、平顶山高考数学一模试卷（文科）（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

若a为实数，=-i，则a等于（ ）
A．
B．-
C．2
D．-2

2. 难度：中等

若某几何体的三视图（单位：cm）如图所示，则此几何体的表面积为（ ）
A．54cm²
B．60cm²
C．57cm²
D．18cm²

3. 难度：中等

如果执行程序框图，那么输出的S=（ ）

A．2450
B．2500
C．2550
D．2652

4. 难度：中等

函数y=2cos²（x+）-1是（ ）
A．最小正周期为π的奇函数
B．最小正周期为π的偶函数
C．最小正周期为的奇函数
D．最小正周期为的偶函数

5. 难度：中等

在△ABC中，已知D是AB边上一点，若=2，=，则λ=（ ）
A．
B．
C．-
D．-

6. 难度：中等

已知奇函数f（x）在区间[0，+∞）单调增加，则满足f（x²-x-1）＜f（5）的x取值范围是（ ）
A．（-2，3）
B．（-3，2）
C．（-2，0]
D．[0，3）

7. 难度：中等

双曲线x²-my²=1的虚轴长是实轴长的2倍，则双曲线的渐近线方程是（ ）
A．y=±2
B．y=±
C．y=±
D．y=±4

8. 难度：中等

如图，ABCD-A₁B₁C₁D₁为正方体，下面结论错误的是（ ）
A．BD∥平面CB₁D₁
B．AC₁⊥BD
C．AC₁⊥平面CB₁D₁
D．异面直线AD与CB₁所成的角为60°

9. 难度：中等

若=1，则的值为（ ）
A．3
B．-3
C．-2
D．-

10. 难度：中等

函数f（x）=的零点个数为（ ）
A．0
B．1
C．2
D．3

11. 难度：中等

已知二次函数f（x）=ax²+bx+c对于任意实数x都有f（x）≥0．设b＞0，则的最小值为（ ）
A．3
B．
C．2
D．

12. 难度：中等

给出下列四个命题：
P₁：对∀a∈R，都有函数f（x）=x²+在（0，+∞）上是增函数；
P₂：∃a∈R，使得函数f（x）=x²+在（0，+∞）上有最小值3；
P₃：对∀x∈R，都有sin=成立，P₄：∃x，y∈R，使得
sin（x+y）=sinx+siny成立，其中是真命题的为（ ）
A．P₂，P₄
B．P₂，P₃
C．P₁，P₄
D．P₁，P₃
E．P₂，P₄
 
 
 

二、填空题

13. 难度：中等

已知集合A={x||x+1|≤2}，B={x|＜0}，任取x∈A∪B，则x∉A∩B的概率为    ．

14. 难度：中等

函数的最小正周期是    ．

15. 难度：中等

设抛物线y²=2px（p＞0），由原点向过焦点的某条直线作垂线，垂足坐标为（2，1），则抛物线方程是    ．

16. 难度：中等

在等边三角形ABC中，M、N、P分别为AB、AC、BC的中点，沿MN将△AMN折起，使得面AMN与面MNCB所成的二面角的余弦值为，则直线AM与NP所成角α应满足    ．

三、解答题

17. 难度：中等

等差数列{a_n}的各项均为正数，a₁=1且a₃，a₆，a₁₀+2成等比数列．
（Ⅰ）求数列{a_n}的前20项和S₂₀；
（Ⅱ）设数列{b_n}满足b₁=1，b_n+1=b_n+2^an，求证b_n•b_n+2＜b．

18. 难度：中等

一个社会调查机构就某地居民的月收入调查了10000人，并根据所得数据画了样本的频率分布直方图（如图）．

（Ⅰ）为了分析居民的收入与年龄、学历、职业等方面的关系，要从这10000人中再用分层抽样方法抽出100人作进一步调查，求月收入在[1500，2000）（元）段应抽出的人数；
（Ⅱ）为了估计该社区3个居民中恰有2个月收入在[2000，3000）（元）的概率，采用随机模拟的方法：先由计算器算出0到9之间取整数值的随机数，我们用0，1，2，3，4，…，表示月收入在[2000，3000）（元）的居民，剩余的数字表示月收入不在[2000，3000）（元）的居民；再以每三个随机数为一组，代表统计的结果．经随机模拟产生了20组随机数如下：
907    966    191    925    271    932    812    458    569    683
431    257    393    027    556    488    730    113    537    989
据此估计，计算该社区3个居民中恰有2个月收入在[2000，3000）（元）的概率．

19. 难度：中等

如图，在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AC=3，BC=4，AB=5，AA₁=4，点D是AB的中点，
（1）求证：AC⊥BC₁；
（2）求证：AC₁∥平面CDB₁；
（3）求三棱锥C₁-CDB₁的体积．

20. 难度：中等

已知函数f（x）=e^x（ax²+x+1）．
（Ⅰ）设a＞0，讨论f（x）的单调性；
（Ⅱ）设a=-1，证明：对∀x₁，x₂∈[0，1]，都有|f（x₁）-f（x₂）|＜2．

21. 难度：中等

设点M（x，y）到直线x=4的距离与它到定点（2，0）的距离之比为，并记点M的轨迹为曲线C．
（Ⅰ）求曲线C的方程；
（Ⅱ）过点（2，0）作直线l与曲线C相交于A、B两点，问C上是否存在点P，使得=+成立？若存在，求出直线l的方程；若不存在，说明理由．

22. 难度：中等

选修4-1；几何证明选讲
如图，PA为⊙O的切线，PB为过圆心O的割线，PA=AB，以AB为直径的圆交PB于C，交PA的延长线于D．
（Ⅰ）求证：AC=AD；
（Ⅱ）若PA=4，求⊙O的直径．