2011年河南省洛阳市高考数学一模试卷（理科）（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

已知A，B是非空数集，定义A+B={x|x∈A∪B，且x∉A∩B}．若A={x|y=}，B={y|y=3^x}，则A+B是（ ）
A．[0，3）
B．（-∞，3）
C．（-∞，0）∪（3，+∞）
D．[0，3]

2. 难度：中等

复数=（ ）
A．1
B．-1
C．i
D．-i

3. 难度：中等

已知等差数列{a_n}与等比数列{b_n}，满足a₃=b₃，2b₃-b₂b₄=0，则{a_n}前5项的和S₅为（ ）
A．5
B．20
C．10
D．40

4. 难度：中等

函数的零点个数为（ ）
A．0
B．1
C．2
D．3

5. 难度：中等

下列命题中的假命题是（ ）
A．∃x∈R，使得x-2＞ln
B．∀x，y∈R，都有x²+y²≥2x-2y-3
C．命题“∀x＞0，x²+x＞0”的否定是“∃x＞0，x²+x≤0”
D．“-2≤a≤2”是“实系数一元二次方程x²+ax+1=0无实根”的充分不必要条件

6. 难度：中等

已知m=lnxdx，n=|logx|dx，则m，n的关系是（ ）
A．m＜n
B．m＞n
C．m=n
D．m+n=2

7. 难度：中等

如图，是一个几何体的三视图，侧视图和正视图均为矩形，俯视图为正三角形，尺寸如图，则该几何体的侧面积（ ）

A．6
B．
C．24
D．3

8. 难度：中等

新学期开始，某校接受6名师大毕业生到校学习．学校要把他们分配到三个年级，每个年级2人，其中甲必须在高一年级，乙和丙均不能在高三年级，则不同的安排种数为（ ）
A．18
B．15
C．12
D．9

9. 难度：中等

已知向量，满足=（2，0），．△ABC，=2+2，-6，D为BC边的中点，则=（ ）
A．2
B．4
C．6
D．8

10. 难度：中等

执行如图所示的程序框图，则输出的结果是（ ）

A．20
B．30
C．40
D．50

11. 难度：中等

过双曲线（a＞0，b＞0）的一个焦点F引它的渐近线的垂线，垂足为M，延长FM交y轴于E，若FM=ME，则该双曲线的离心率为（ ）
A．3
B．2
C．
D．

12. 难度：中等

已知f（x）是定义在R上的函数，对任意x∈R都有f（x+4）=f（x）+2f（2），若函数f（x-1）的图象关于直线x=1对称，且f（1）=2，则f（2011）等于（ ）
A．2
B．3
C．4
D．6

二、填空题

13. 难度：中等

在的展开式中x的指数是整数的项共有    项．

14. 难度：中等

点P在抛物线x²=4y的图象上，F为抛物线的焦点，点A（-1，3），若使|PF|+|PA|最小，则相应P点的坐标为    ．

15. 难度：中等

已知=2•，=3•，=4•，…．若=8•（a，t均为正实数），类比以上等式，可推测a，t的值，则a+t=    ．

16. 难度：中等

如图放置的边长为1的正三角形ABC沿x轴的正方向滚动，设顶点A（x，y）的纵坐标与横坐标的函数关系是y=f（x）．则f（x）在两个相邻零点间的图象与x轴围成的面积是    ．

三、解答题

17. 难度：中等

设函数f（x）=sin（2x+）+2cos²（-x）．
（1）求f（x）的最小正周期及对称轴方程；
（2）设△ABC的三个内角A，B，C的对边分别是a，b，c，若f（）=+1，c=，cosB=，求b．

18. 难度：中等

如图，在底面是正方形的四棱锥P-ABCD中；PA⊥AC上一点．
（1）确定点G的位置，使FG∥平面PBD，并说明理由；
（2）当二面角B-PC-D的大小为120°时，求PC与底面ABCD所成角的正切值．

19. 难度：中等

某班级举行一次知识竞赛，活动分为初赛和决赛，现将初赛成绩（得分均为整数，满分为100分）进行统计，制成如下频率分布表．

分组（分数段）	频数（人数）	频率
（60，70）	______	0.16
（70，80）	22	______
（80，90）	14	0.28
（90，100）	______	______
合计	50	______

（1）填充频率分布表中的空格（直接写出对应空格序号的答案，不必写过程）；
（2）决赛规则如下：参加决赛的同学依次回答主持人的4道题，答对2道就终止答题，并获得一等奖；如果前三道题都答错，就不再回答第四题．某同学甲现已进入决赛（初赛80分以上，不含80分），每题答对的概率P的值恰好等于频率分布表中80分以上的频率值．
①求该同学答完3道题而获得一等奖的概率；
②记该同学决赛中答题的个数为ξ，求ξ的分布列．

20. 难度：中等

过定点A（1，0）的动圆M与定圆B：（x+1）²+y²=8内切（圆心为B）．
（1）求动圆圆心M的轨迹方程；
（2）设点N（0，1），是否存在直线l交M的轨迹于P，Q两点，使得△NPQ的垂心恰为点A．若存在，求出该直线l的方程；若不存在，请说明理由．

21. 难度：中等

已知函数f（x）=lnx+x²-ax（a∈R）．
（1）若f（x）在其定义域上为增函数，求a的取值范围；
（2）若f（x）存在极值，试求a的取值范围，并证明所有极值之和小于-3+ln；
（3）设a_n=1+（n∈N^*），求证：3（a₁+a₂+…+a_n）-（a₁²+a₂²+…+a_n²）＜ln（n+1）+2n．

22. 难度：中等

选做题
如图所示，AB是⊙O的直径，G为AB延长线上的一点，GCD是⊙O的割线，过点G作AB的垂线，交AC的延长线于点E，交AD的延长线于点F，过G作⊙O的切线，切点为H．求证：
（Ⅰ）C，D，F，E四点共圆；
（Ⅱ）GH²=GE•GF．

23. 难度：中等

对于任意的实数a（a≠0）和b，不等式|a+b|+|a-b|≥M•|a|恒成立，记实数M的最大值是m．
（1）求m的值；
（2）解不等式|x-1|+|x-2|≤m．