2001年上海市高考数学试卷（理科）（解析版）

一、填空题

1. 难度：中等

已知则满足的x值为     ．

2. 难度：中等

设数列{a_n}的通项为a_n=2n-7（n∈N^*），则|a₁|+|a₂|+…+|a₁₅|=    ．

3. 难度：中等

设P为双曲线-y²=1上一动点，O为坐标原点，M为线段OP的中点，则点M的轨迹方程是    ．

4. 难度：中等

设集合，则A∩B的元素个数为    个．

5. 难度：中等

抛物线x²-4y-3=0的焦点坐标为    ．

6. 难度：中等

设数列{a_n}是公比为q＞0的等比数列，S_n是它的前n项和，若，则此数列的首项a₁的取值范围为    ．

7. 难度：中等

某餐厅供应客饭，每位顾客可以在餐厅提供的菜肴中任选2菜2素共4种不同的品种．现在餐厅准备了5种不同的荤菜，若要保证每位顾客有200种以上的不同选择，则餐厅至少还需要不同的素菜品种    种．（结果用数值表示）

8. 难度：中等

在的展开式中，常数项为    ．

9. 难度：中等

设x=sinα，且，则arccosx的取值范围是    ．

10. 难度：中等

直线与曲线（φ为参数）的交点坐标是    ．

11. 难度：中等

已知两个圆：x²+y²=1 ①；x²+（y-3）²=1 ②，则由①式减去②式可得上述两个圆的对称轴方程．将上述命题在曲线仍为圆的情况下加以推广，即要求得到一个更一般的命题，而已知命题应成为所推广命题的一个特例，推广的命题为    ．

12. 难度：中等

据报道，我国目前已成为世界上受荒漠化危害最严重的国家之一，如表示我国土地沙化总面积在上个世纪五六十年代、七八十年代、九十年代的变化情况，由图中的相关信息，可将上述有关年代中，我国年平均土地沙化面积在图中图示为：    ．

二、选择题

13. 难度：中等

a=3是直线ax+2y+3a=0和直线3x+（a-1）y=a-7平行且不重合的（ ）
A．充分非必要条件
B．必要非充分条件
C．充要条件
D．既非充分也非必要条件

14. 难度：中等

如图，在平行六面体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，M为AC与BD的交点，若=，=，=．则下列向量中与相等的向量是（ ）
A．-++
B．
C．
D．--+

15. 难度：中等

已知a，b为两条不同的直线，α，β为两个不同的平面，且a⊥α，b⊥β，则下列命题中的假命题是（ ）
A．若a∥b，则α∥β
B．若α⊥β，则a⊥b
C．若a，b相交，则α，β相交
D．若α，β相交，则a，b相交

16. 难度：中等

用计算器验算函数的若干个值，可以猜想下列命题中的真命题只能是（ ）
A．在（1，+∞）上是单调减函数
B．，x∈（1，+∞）有最小值
C．，x∈（1，+∞）的值域为
D．

三、解答题

17. 难度：中等

已知a、b、c是△ABC中∠A、∠B、∠C的对边，S是△ABC的面积，若a=4，b=5，S=5，求c的长度．

18. 难度：中等

设F₁，F₂为椭圆的两个焦点，P为椭圆上的一点，已知P，F₁，F₂是一个直角三角形的三个顶点，且|PF₁|＞|PF₂|，求的值．

19. 难度：中等

在棱长为a的正方体OABC-O′A′B′C′中，E、F分别是棱AB、BC上的动点，且AE=BF．
（Ⅰ）求证：A′F⊥C′E；
（Ⅱ）当三棱锥B′-BEF的体积取得最大值时，求二面角B′-EF-B的大小．（结果用反三角函数表示）

20. 难度：中等

对任意一个非零复数z，定义集合．
（Ⅰ）设α是方程的一个根．试用列举法表示集合M_a，若在M_a中任取两个数，求其和为零的概率P；
（Ⅱ）设复数ω∈M_z，求证：M_ω⊆M_z．

21. 难度：中等

用水清洗一堆蔬菜上残留的农药，对用一定量的水清洗一次的效果作如下假定：用1个单位量的水可洗掉蔬菜上残留农药量的，用水越多洗掉的农药量也越多，但总还有农药残留在蔬菜上．设用x单位量的水清洗一次以后，蔬菜上残留的农药量与本次清洗前残留的农药量之比为函数f（x）．
（Ⅰ）试规定f（0）的值，并解释其实际意义；
（Ⅱ）试根据假定写出函数f（x）应该满足的条件和具有的性质；
（Ⅲ）设．现有a（a＞0）单位量的水，可以清洗一次，也可以把水平均分成2份后清洗两次，试问用哪种方案清洗后蔬菜上残留的农药量比较省？说明理由．

22. 难度：中等

对任意函数f（x），x∈D，可按图示构造一个数列发生器，其工作原理如下：
①输入数据x∈D，经按列发生器，其工作原理如图：
②若x₁∈D，则数列发生器结束工作；若x₁∈D，则将x₁反馈回输入端，再输出x₂=f（x₁），并依此规律继续下去，现定义．
（Ⅰ）若输入，则由数列发生器产生数列{x_n}．请写出数列{x_n}的所有项：
（Ⅱ）若要数列发生器产生一个无穷的常数数列，试求输入的初始数据x的值；
（Ⅲ）若输入x时，产生的无穷数列{x_n}满足；对任意正整数n，均有x_n＞x_n+1，求x的取值范围．