2012年四川省乐山市高考数学二模试卷（理科）（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

已知复数z的实部为2，虚部为-1，则=（ ）
A．-1+2i
B．-l-2i
C．1+2i
D．1-2i

2. 难度：中等

设向量，均为单位向量，且|+2|=，则与的夹角为（ ）
A．
B．
C．
D．

3. 难度：中等

“mn＞0”是“方程mx²-ny²=1表示焦点在x轴上的双曲线”的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件

4. 难度：中等

已知函数f（x）=为奇函数，则f（）=（ ）
A．2
B．-2
C．
D．-

5. 难度：中等

数列{a_n}满足a₁=1，a₂=，并且a_n（a_n-1+a_n+1）2a_n+1a_n-1（n≥2），则数列的第2012项为（ ）
A．
B．
C．
D．

6. 难度：中等

已知m、n是两条不同的直线，α、β是两个不同的平面，有下列命题：其中真命题的个数是（ ）
①若m⊂α，n∥α，则m∥n；        
②若m∥α，m∥β，则α∥β；
③若m⊥α，m⊥n，则n∥a；        
④若m⊥α，m⊥β，则α∥β．
A．0个
B．1个
C．2个
D．3个

7. 难度：中等

已知x、y∈R⁺，2x+y=3-2xy，则2x+y的最小值是（ ）
A．2
B．4
C．6
D．8

8. 难度：中等

若函数f（x）的导数为f′（x）=-x（x+1），则函数f（log_ax）（0＜a＜1）的单调减区间为（ ）
A．[-1，0]
B．
C．
D．

9. 难度：中等

已知P是椭画+=1左准线上一点，F₁、F₂分别是其左、右焦点，PF₂与椭圆交于点Q，且=2，则||的值为（ ）
A．
B．4
C．
D．

10. 难度：中等

已知函数y=Asin（ωx+φ）（A＞0，0＜ω≤2，0≤φ≤π）是R上的偶函数，其图象过点M（0，2），又f（x）的图象关于点N（，0）对称，且在区间[0，π]上是减函数，则f（x）=（ ）
A．2cos
B．2cos2
C．2cos
D．2cos

11. 难度：中等

如图，球O夹在锐二面角α-l-β之间，与两个半平面的切点分别为A、B，若AB=，球心O到二面角的棱l的距离为2，则球O的表面积为（ ）

A．4π
B．12π
C．36π
D．

12. 难度：中等

对于非空集合A、B，定义运算A⊕B={x|x∈A∪B，且x∉A∩B．已知两个开区间M=（a，b），N=（c，d），其中a、b、c、d满足a+b＜c+d，ab=cd＜0，则M⊕N=（ ）
A．（a，b）∪（c，d）
B．（a，c）∪（b，d）
C．（a，d）∪（b，c）
D．（c，a）∪（d，b）

二、填空题

13. 难度：中等

已知a=log₃2，那么log₃8-2log₃6用a表示为    ．

14. 难度：中等

在（-）ⁿ的展开式中，只有第4项的二项式系数最大，则展开式中的常数项为    ．

15. 难度：中等

已知函数f（x）=在x=1处连续，则=    ．

16. 难度：中等

在平面直角坐标系中，定义点P（x₁，y₁）、Q（x₂，y₂）之间的“直角距离”为d（P，Q）=|x₁-x₂|+|y₁-y₂|．若C（x，y）到点A（1，3），B（6，9）的“直角距离”相等，其中实数x、y满足0≤x≤10，0≤y≤10，则所有满足条件点C的轨迹的长度之和为     ．

三、解答题

17. 难度：中等

如图，在棱长为2的正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，M为棱BB₁的中点．
（1）求平面A₁DM与平面ABCD所成的锐二面角的大小；
（2）求点B到平面A₁DM的距离．

18. 难度：中等

△ABC中，三个内角A、B、C所对的边分别为a、b、c，若B=60°，a=（-1）c．
（1）求角A的大小；
（2）已知当x∈[，]时，函数f（x）=cos2x+asinx的最大值为3，求△ABC的面积．

19. 难度：中等

某工厂生产甲、乙两种产品，每种产品都是经过第一和第二工序加工而成，两道工序的加工结果相互独立，每道工序的加工结果均有A、B两个等级．对每种产品，两道工序的加工结果都为A级时，产品为一等品，其余均为二等品．
（Ⅰ）已知甲、乙两种产品每一道工序的加工结果为A级的概率如表一所示，分别求生产出的甲、乙产品为一等品的概率P_甲、P_乙；

产品\概率\工序	第一工序	第二工序
甲	0.8	0.85
乙	0.75	0.8

（Ⅱ）已知一件产品的利润如表二所示，用ξ、η分别表示一件甲、乙产品的利润，在（I）的条件下，求ξ、η的分布列及Eξ、Eη；

产品\利润\等级	一等	二等
甲	5（万元）	2.5（万元）
乙	2.5（万元）	1.5（万元）

（Ⅲ）已知生产一件产品需用的工人数和资金额如表三所示．该工厂有工人40名，可用资金60万元．设x、y分别表示生产甲、乙产品的数量，在（II）的条件下，x、y为何值时，z=xEξ+yEη最大？最大值是多少？（解答时须给出图示）

产品\用量\项目	工人（名）	资金（万元）
甲	8	5
乙	2	10

20. 难度：中等

如图，已知直线L：x=my+1过椭圆C：+=1（a＞b＞0）的右焦点F，且交椭圆C于A、B两点，点A、F、B在直线G；x=a²上的射影依次为点D、K、E，若抛物线x²=4y的焦点为椭圆C的顶点．
（1）求椭圆C的方程；
（2）若直线L交y轴于点M，=λ₁，=λ₂，当M变化时，求λ₁+λ₂的值．

21. 难度：中等

已知数列{a_n}中，a₁=1，a₂=3，其前n项和为S_n，且当n≥2时，a_n+1S_n-1-a_nS_n=0．
（Ⅰ）求证：数列{S_n}是等比数列；
（Ⅱ）求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅲ）令，记数列{b_n}的前n项和为T_n，证明对于任意的正整数n，都有成立．

22. 难度：中等

设函数．
（Ⅰ） 讨论函数f（x）的单调性；
（Ⅱ）若x≥0时，恒有f（x）≤ax³，试求实数a的取值范围；
（Ⅲ）令，试证明：．