2000年上海市高考数学试卷（理科）（解析版）

一、填空题

1. 难度：中等

已知，，若，则m=    ．

2. 难度：中等

函数的定义域为    ．

3. 难度：中等

圆锥曲线的焦点坐标是    ．

4. 难度：中等

计算：=    ．

5. 难度：中等

已知f（x）=2^x+b的反函数为f^-1（x），若y=f^-1（x）的图象经过点P（5，2），则b的值是    ．

6. 难度：中等

根据上海市人大十一届三次会议上的市政府工作报告，1999年上海市完成GDP（GDP是指国内生产总值）4035亿元，2000年上海市GDP预期增长9%，市委、市府提出本市常住人口每年的自然增长率将控制在0.08%，若GDP与人口均按这样的速度增长，则要使本市年人均GDP达到或超过1999年的2倍，至少需    年．（按：1999年本市常住人口总数约1300）

7. 难度：中等

命题A：底面为正三角形，且顶点在底面的射影为底面中心的三棱锥是正三棱锥，命题A的等价题B可以是：底面为正三角形，且    的三棱锥是正三棱锥．

8. 难度：中等

设函数y=f（x）是最小正周期为2的偶函数，它在区间[0，1]上的图象为如图所示的线段AB，则在区间[1，2]上f（x）=    ．

9. 难度：中等

在二项式（x-1）¹¹的展开式中，系数最小的项的系数为    （结果用数值表示）

10. 难度：中等

有红、黄、蓝三种颜色的旗帜各3面，在每种颜色的3面旗帜上分别标上号码1、2、3，现在从中任取三面，它们的颜色和号码均不相同的概率为     ．

11. 难度：中等

在极坐标系中，若过点A（3，0）且与极轴垂直的直线交曲线ρ=4cosθ于A、B两点，则|AB|=    ．

12. 难度：中等

在等差数列{a_n}中，若a₁₀=0，则有等式：a₁+a₂+…+a_n=a₁+a₂+…+a_19-n（n＜19）成立，类比上述性质，相应地，在等比数列{b_n}中，若b₉=1，则有等式    成立．

二、选择题

13. 难度：中等

复数（i是虚数单位）的三角形式是（ ）
A．3[cos（-）+isin（-）]
B．3（cos+isin）
C．3（cos）+isin）
D．3（cos-isin）

14. 难度：中等

设有不同的直线a、b和不同的平面α、β、γ，给出下列三个命题：
（1）若a∥α，b∥α，则a∥b．
（2）若a∥α，a∥β，则α∥β．
（3）若a∥γ，β∥γ，则a∥β．
其中正确的个数是（ ）
A．0
B．1
C．2
D．3

15. 难度：中等

集合S={y|y=3^x，x∈R}，T={y|y=x²-1，x∈R}，则S∩T是（ ）
A．S
B．T
C．∅
D．有限集

16. 难度：中等

下列命题中正确的命题是（ ）
A．若点P（a，2a）（a≠0）为角a终边上一点，则
B．同时满足的角a有且只有一个
C．当|a|＜1时，tan（arcsina）的值恒正
D．三角方程的解集为{x|x=kπ，k∈Z}

三、解答题

17. 难度：中等

已知椭圆C的焦点分别为F₁（-2，0）和F₂（2，0），长轴长为6，设直线y=x+2交椭圆C于A、B两点．求：线段AB的中点坐标．

18. 难度：中等

如图所示四面体ABCD中，AB、BC、BD两两互相垂直，且AB=BC=2，E是AC中点，异面直线AD与BE所成的角的大小为，求四面体ABCD的体积．

19. 难度：中等

已知函数，x∈[1，+∞），
（1）若，求f（x）的最小值；
（2）若对任意x∈[1，+∞），f（x）＞0恒成立，试求实数a的取值范围．

20. 难度：中等

根据指令（r，θ）（r≥0，-180°＜θ≤180°），机器人在平面上能完成下列动作：先原地旋转角度θ（θ为正时，按逆时针方向旋转θ，θ为负时，按顺时针方向旋转-θ），再朝其面对的方向沿直线行走距离r．
（Ⅰ）现机器人在直角坐标系的坐标原点，且面对x轴正方向，试给机器人下一个指令，使其移动到点（4，4）．
（Ⅱ）机器人在完成该指令后，发现在点（17，0）处有一小球正向坐标原点作匀速直线滚动，已知小球滚动的速度为机器人直线行走速度的2倍，若忽略机器人原地旋转所需的时间，问机器人最快可在何处截住小球？并给出机器人截住小球所需的指令（结果精确到小数点后两位）．

21. 难度：中等

在XOY平面上有一点列P₁（a₁，b₁），P₂（a₂，b₂），…，P_n（a_n，b_n），…，对每个自然数n，点P，位于函数的图象上，且点P_n，点（n，0）与点（n+1.0）构成一个以P_n为顶点的等腰三角形．
（Ⅰ）求点P_n的纵坐标b_n的表达式．
（Ⅱ）若对每个自然数n，以b_n，b_n+1，b_n+2为边长能构成一个三角形，求a取值范围．
（Ⅲ）设B_n=b₁b₂…b_n（n∈N）．，若a取（2）中确定的范围内的最小整数，求数列{B_n}的最大项的项数．

22. 难度：中等

已知复数z=1-mi（m＞0），z=x+yi和w=x'+y'i，其中x，y，x'，y'均为实数，i为虚数单位，且对于任意复数z，有w=，|w|=2|z|．
（Ⅰ）试求m的值，并分别写出x'和y'用x、y表示的关系式；
（Ⅱ）将（x、y）作为点P的坐标，（x'、y'）作为点Q的坐标，上述关系可以看作是坐标平面上点的一个变换：它将平面上的点P变到这一平面上的点Q，当点P在直线y=x+1上移动时，试求点P经该变换后得到的点Q的轨迹方程；
（Ⅲ）是否存在这样的直线：它上面的任一点经上述变换后得到的点仍在该直线上？若存在，试求出所有这些直线；若不存在，则说明理由．