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2013年高考数学复习卷B(五)(解析版)
一、填空题
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1. 难度:中等
椭圆的中心在原点,焦距为4,一条准线为x=-4,则该椭圆的方程为   
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2. 难度:中等
已知椭圆的中心为原点,离心率manfen5.com 满分网,且它的一个焦点与抛物线manfen5.com 满分网的焦点重合,则此椭圆方程为   
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3. 难度:中等
已知F1,F2分别是椭圆manfen5.com 满分网(a>b>0)的左,右焦点,若椭圆的右准线上存在一点P,使得线段PF1的垂直平分线过点F2,则离心率的范围是   
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4. 难度:中等
设F1、F2是椭圆E:manfen5.com 满分网=1(a>b>0)的左、右焦点,P为直线x=manfen5.com 满分网上一点,△F2PF1是底角为30°的等腰三角形,则椭圆E的离心率为   
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5. 难度:中等
设双曲线与椭圆manfen5.com 满分网+manfen5.com 满分网=1有共同的焦点,且与椭圆相交,一个交点的坐标为(manfen5.com 满分网,4),则此双曲线的标准方程是   
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6. 难度:中等
已知双曲线manfen5.com 满分网的两条渐近线方程为manfen5.com 满分网,若顶点到渐近线的距离为1,则双曲线方程为   
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7. 难度:中等
manfen5.com 满分网如图,F1,F2分别是双曲线C:manfen5.com 满分网-manfen5.com 满分网=1(a,b>0)的左、右焦点,B是虚轴的端点,直线F1B与C的两条渐近线分别交于P,Q两点,线段PQ的垂直平分线与x轴交与点M,若|MF2|=|F1F2|,则C的离心率是   
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8. 难度:中等
若双曲线manfen5.com 满分网=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1、F2,线段F1F2被抛物线y2=2bx的焦点分成7:5的两段,则此双曲线的离心率为   
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9. 难度:中等
如图是抛物线形拱桥,当水面在l时,拱顶离水面2米,水面宽4米.水位下降1米后,水面宽为    米.
manfen5.com 满分网
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10. 难度:中等
河上有一抛物线型拱桥,当水面距拱顶5 m时,水面宽为8 m,一小船宽4 m,高2 m,载货后船露出水面上的部分高manfen5.com 满分网m,问水面上涨到与抛物线拱顶相距    m时,小船不能通航.
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11. 难度:中等
已知椭圆C:manfen5.com 满分网=1(a>b>0)的离心率为manfen5.com 满分网,双曲线x2-y2=1的渐近线与椭圆有四个交点,以这四个交点为顶点的四边形的面积为16,则椭圆C的方程为   
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12. 难度:中等
若双曲线manfen5.com 满分网-manfen5.com 满分网=1(a>0)的离心率为2,则它的渐近线方程是   
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13. 难度:中等
过双曲线manfen5.com 满分网=1(a>0,b>0)的左焦点F(-c,0)(c>0),作圆x2+y2=manfen5.com 满分网的切线,切点为E,延长FE交双曲线右支于点P,若manfen5.com 满分网,则双曲线的离心率为   
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14. 难度:中等
过双曲线manfen5.com 满分网的右焦点,且平行于经过一、三象限的渐近线的直线方程是   
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15. 难度:中等
以抛物线y2=4x上的点(x,4)为圆心,并过此抛物线焦点的圆的方程是   
二、解答题
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16. 难度:中等
已知直线x+ky-3=0所经过的定点F恰好是椭圆C的一个焦点,且椭圆C上的点到点F的最大距离为8.
(1)求椭圆C的标准方程;
(2)已知圆O:x2+y2=1,直线l:mx+ny=1.试证明:当点P(m,n)在椭圆C上运动时,直线l与圆O恒相交,并求直线l被圆O所截得的弦长L的取值范围.
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17. 难度:中等
manfen5.com 满分网在平面直角坐标系xOy中,椭圆G的中心为坐标原点,左焦点为F1(-1,0),P为椭圆G的上顶点,且∠PF1O=45°.
(Ⅰ)求椭圆G的标准方程;
(Ⅱ)已知直线l1:y=kx+m1与椭圆G交于A,B两点,直线l2:y=kx+m2(m1≠m2)与椭圆G交于C,D两点,且|AB|=|CD|,如图所示.(ⅰ)证明:m1+m2=0;(ⅱ)求四边形ABCD的面积S的最大值.
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18. 难度:中等
已知点manfen5.com 满分网是离心率为manfen5.com 满分网的椭圆C:manfen5.com 满分网上的一点.斜率为manfen5.com 满分网的直线BD交椭圆C于B、D两点,且A、B、D三点不重合.
(Ⅰ)求椭圆C的方程;
(Ⅱ)△ABD的面积是否存在最大值?若存在,求出这个最大值;若不存在,请说明理由?
(Ⅲ)求证:直线AB、AD的斜率之和为定值.
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19. 难度:中等
设A(x1,y1),B(x2,y2)是椭圆manfen5.com 满分网上的两点,已知向量manfen5.com 满分网=(manfen5.com 满分网manfen5.com 满分网),manfen5.com 满分网=(manfen5.com 满分网manfen5.com 满分网),若manfen5.com 满分网=0且椭圆的离心率e=manfen5.com 满分网,短轴长为2,O为坐标原点.
(Ⅰ)求椭圆的方程;
(Ⅱ)试问:△AOB的面积是否为定值?如果是,请给予证明;如果不是,请说明理由.
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20. 难度:中等
在平面直角坐标系xOy中,已知椭圆C:manfen5.com 满分网的离心率manfen5.com 满分网,且椭圆C上的点到点Q(0,2)的距离的最大值为3.
(1)求椭圆C的方程;
(2)在椭圆C上,是否存在点M(m,n),使得直线l:mx+ny=1与圆O:x2+y2=1相交于不同的两点A、B,且△OAB的面积最大?若存在,求出点M的坐标及对应的△OAB的面积;若不存在,请说明理由.
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21. 难度:中等
已知椭圆C:manfen5.com 满分网的离心率为manfen5.com 满分网,定点M(2,0),椭圆短轴的端点是B1,B2,且MB1⊥MB2
(Ⅰ)求椭圆C的方程;
(Ⅱ)设过点M且斜率不为0的直线交椭圆C于A,B两点.试问x轴上是否存在定点P,使PM平分∠APB?若存在,求出点P的坐标;若不存在,说明理由.
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22. 难度:中等
已知抛物线y2=2px(p>0)的焦点为F,过点F作直线l与抛物线交于A,B两点,抛物线的准线与x轴交于点C.
(1)证明:∠ACF=∠BCF;
(2)求∠ACB的最大值,并求∠ACB取得最大值时线段AB的长.
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23. 难度:中等
已知椭圆C:manfen5.com 满分网=1(a>b>0)的离心率为manfen5.com 满分网,以原点为圆心,椭圆的短半轴长为半径的圆与直线x-y+2=0相切,A.B分别是椭圆的左、右顶点,P为椭圆C上的动点.
(1)求椭圆C的标准方程;
(2)若P与A、B均不重合,设直线PA与PB的斜率分别为k1、k2,证明:k1•k2为定值;
(3)若M为过P且垂直于x轴的直线上的点,且manfen5.com 满分网=2,求点M的轨迹方程.
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