2013年高考数学复习卷B（五）（解析版）

一、填空题

1. 难度：中等

椭圆的中心在原点，焦距为4，一条准线为x=-4，则该椭圆的方程为    ．

2. 难度：中等

已知椭圆的中心为原点，离心率，且它的一个焦点与抛物线的焦点重合，则此椭圆方程为    ．

3. 难度：中等

已知F1，F2分别是椭圆（a＞b＞0）的左，右焦点，若椭圆的右准线上存在一点P，使得线段PF₁的垂直平分线过点F₂，则离心率的范围是    ．

4. 难度：中等

设F₁、F₂是椭圆E：=1（a＞b＞0）的左、右焦点，P为直线x=上一点，△F₂PF₁是底角为30°的等腰三角形，则椭圆E的离心率为    ．

5. 难度：中等

设双曲线与椭圆+=1有共同的焦点，且与椭圆相交，一个交点的坐标为（，4），则此双曲线的标准方程是    ．

6. 难度：中等

已知双曲线的两条渐近线方程为，若顶点到渐近线的距离为1，则双曲线方程为    ．

7. 难度：中等

如图，F₁，F₂分别是双曲线C：-=1（a，b＞0）的左、右焦点，B是虚轴的端点，直线F₁B与C的两条渐近线分别交于P，Q两点，线段PQ的垂直平分线与x轴交与点M，若|MF₂|=|F₁F₂|，则C的离心率是    ．

8. 难度：中等

若双曲线=1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F₁、F₂，线段F₁F₂被抛物线y²=2bx的焦点分成7：5的两段，则此双曲线的离心率为    ．

9. 难度：中等

如图是抛物线形拱桥，当水面在l时，拱顶离水面2米，水面宽4米．水位下降1米后，水面宽为    米．

10. 难度：中等

河上有一抛物线型拱桥，当水面距拱顶5 m时，水面宽为8 m，一小船宽4 m，高2 m，载货后船露出水面上的部分高m，问水面上涨到与抛物线拱顶相距    m时，小船不能通航．

11. 难度：中等

已知椭圆C：=1（a＞b＞0）的离心率为，双曲线x²-y²=1的渐近线与椭圆有四个交点，以这四个交点为顶点的四边形的面积为16，则椭圆C的方程为    ．

12. 难度：中等

若双曲线-=1（a＞0）的离心率为2，则它的渐近线方程是    ．

13. 难度：中等

过双曲线=1（a＞0，b＞0）的左焦点F（-c，0）（c＞0），作圆x²+y²=的切线，切点为E，延长FE交双曲线右支于点P，若，则双曲线的离心率为    ．

14. 难度：中等

过双曲线的右焦点，且平行于经过一、三象限的渐近线的直线方程是    ．

15. 难度：中等

以抛物线y²=4x上的点（x，4）为圆心，并过此抛物线焦点的圆的方程是    ．

二、解答题

16. 难度：中等

已知直线x+ky-3=0所经过的定点F恰好是椭圆C的一个焦点，且椭圆C上的点到点F的最大距离为8．
（1）求椭圆C的标准方程；
（2）已知圆O：x²+y²=1，直线l：mx+ny=1．试证明：当点P（m，n）在椭圆C上运动时，直线l与圆O恒相交，并求直线l被圆O所截得的弦长L的取值范围．

17. 难度：中等

在平面直角坐标系xOy中，椭圆G的中心为坐标原点，左焦点为F₁（-1，0），P为椭圆G的上顶点，且∠PF₁O=45°．
（Ⅰ）求椭圆G的标准方程；
（Ⅱ）已知直线l₁：y=kx+m₁与椭圆G交于A，B两点，直线l₂：y=kx+m₂（m₁≠m₂）与椭圆G交于C，D两点，且|AB|=|CD|，如图所示．（ⅰ）证明：m₁+m₂=0；（ⅱ）求四边形ABCD的面积S的最大值．

18. 难度：中等

已知点是离心率为的椭圆C：上的一点．斜率为的直线BD交椭圆C于B、D两点，且A、B、D三点不重合．
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）△ABD的面积是否存在最大值？若存在，求出这个最大值；若不存在，请说明理由？
（Ⅲ）求证：直线AB、AD的斜率之和为定值．

19. 难度：中等

设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）是椭圆上的两点，已知向量=（，），=（，），若=0且椭圆的离心率e=，短轴长为2，O为坐标原点．
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）试问：△AOB的面积是否为定值？如果是，请给予证明；如果不是，请说明理由．

20. 难度：中等

在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C：的离心率，且椭圆C上的点到点Q（0，2）的距离的最大值为3．
（1）求椭圆C的方程；
（2）在椭圆C上，是否存在点M（m，n），使得直线l：mx+ny=1与圆O：x²+y²=1相交于不同的两点A、B，且△OAB的面积最大？若存在，求出点M的坐标及对应的△OAB的面积；若不存在，请说明理由．

21. 难度：中等

已知椭圆C：的离心率为，定点M（2，0），椭圆短轴的端点是B₁，B₂，且MB₁⊥MB₂．
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）设过点M且斜率不为0的直线交椭圆C于A，B两点．试问x轴上是否存在定点P，使PM平分∠APB？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由．

22. 难度：中等

已知抛物线y²=2px（p＞0）的焦点为F，过点F作直线l与抛物线交于A，B两点，抛物线的准线与x轴交于点C．
（1）证明：∠ACF=∠BCF；
（2）求∠ACB的最大值，并求∠ACB取得最大值时线段AB的长．

23. 难度：中等

已知椭圆C：=1（a＞b＞0）的离心率为，以原点为圆心，椭圆的短半轴长为半径的圆与直线x-y+2=0相切，A．B分别是椭圆的左、右顶点，P为椭圆C上的动点．
（1）求椭圆C的标准方程；
（2）若P与A、B均不重合，设直线PA与PB的斜率分别为k₁、k₂，证明：k₁•k₂为定值；
（3）若M为过P且垂直于x轴的直线上的点，且=2，求点M的轨迹方程．