2011年江苏省南通市高考数学三模试卷（解析版）

一、填空题

1. 难度：中等

若集合A={x|x＞2}，B={x|x≤3}，则A∩B=    ．

2. 难度：中等

函数y=sin2x+cos2x的最小正周期是    ．

3. 难度：中等

已知（a+i）²=2i，其中i是虚数单位，那么实数 a=    ．

4. 难度：中等

已知向量与的夹角为60°，且||=1，||=2，那么（+）²的值为    ．

5. 难度：中等

底面边长为2m，高为1m的正三棱锥的全面积为    m²．

6. 难度：中等

若双曲线的焦点到渐近线的距离为，则实数k的值是    ．

7. 难度：中等

若实数x，y满足，则z=x+2y的最小值是    ．

8. 难度：中等

对于定义在R上的函数f（x），给出三个命题：
①若f（-2）=f（2），则f（x）为偶函数；
②若f（-2）≠f（2），则f（x）不是偶函数；
③若f（-2）=f（2），则f（x）一定不是奇函数．
其中正确命题的序号为    ．

9. 难度：中等

图中是一个算法流程图，则输出的n=    ．

10. 难度：中等

已知三数x+log₂₇2，x+log₉2，x+log₃2成等比数列，则公比为    ．

11. 难度：中等

已知5×5数字方阵：中，a_ij=，则a_3j+a_i4=    ．

12. 难度：中等

已知函数f（x）=x²-cosx，x∈，则满足f（x）＞f（）的x的取值范围为    ．

13. 难度：中等

甲地与乙地相距250公里．某天小袁从上午7：50由甲地出发开车前往乙地办事．在上午9：00，10：00，11：00三个时刻，车上的导航仪都提示“如果按出发到现在的平均速度继续行驶，那么还有1小时到达乙地”．假设导航仪提示语都是正确的，那么在上午11：00时，小袁距乙地还有    公里．

14. 难度：中等

定义在[1，+∞）上的函数f（x）满足：①f（2x）=cf（x）（c为正常数）；②当2≤x≤4时，f（x）=1-|x-3|．若函数的所有极大值点均落在同一条直线上，则c=    ．

二、解答题

15. 难度：中等

某高校从参加今年自主招生考试的学生中随机抽取容量为50的学生成绩样本，得频率分布表如下：

组号	分组	频数	频率
第一组	[230，235）	8	0.16
第二组	[235，240）	①	0.24
第三组	[240，245）	15	②
第四组	[245，250）	10	0.20
第五组	[250，255]	5	0.10
合              计		50	1.00

（1）写出表中①②位置的数据；
（2）为了选拔出更优秀的学生，高校决定在第三、四、五组中用分层抽样法抽取6名学生进行第二轮考核，分别求第三、四、五各组参加考核人数；
（3）在（2）的前提下，高校决定在这6名学生中录取2名学生，求2人中至少有1名是第四组的概率．

16. 难度：中等

如图，在三棱柱ABC-A₁B₁C₁中．
（1）若BB₁=BC，B₁C⊥A₁B，证明：平面AB₁C⊥平面A₁BC₁；
（2）设D是BC的中点，E是A₁C₁上的一点，且A₁B∥平面B₁DE，求的值．

17. 难度：中等

在△ABC中，a²+c²=2b²，其中a，b，c分别为角A，B，C所对的边长．
（1）求证：B≤；
（2）若，且A为钝角，求A．

18. 难度：中等

在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆（a＞b＞0）的离心率为，其焦点在圆x²+y²=1上．
（1）求椭圆的方程；
（2）设A，B，M是椭圆上的三点（异于椭圆顶点），且存在锐角θ，使．
（i）求证：直线OA与OB的斜率之积为定值；
（ii）求OA²+OB²．

19. 难度：中等

已知数列{a_n}满足：a₁=a₂=a₃=2，a_n+1=a₁a₂…a_n-1（n≥3），记b_n-2=a₁²+a₂²+…+a_n²-a₁a₂…a_n（n≥3）．
（1）求证数列{b_n}为等差数列，并求其通项公式；
（2）设，数列{}的前n项和为S_n，求证：n＜S_n＜n+1．

20. 难度：中等

设函数f（x）=ax³-（a+b）x²+bx+c，其中a＞0，b，c∈R．
（1）若=0，求函数f（x）的单调增区间；
（2）求证：当0≤x≤1时，|f'（x）|≤max{f'（0），f'（1）}．（注：max{a，b}表示a，b中的最大值）

21. 难度：中等

选修4-1：几何证明选讲
如图，⊙O的直径AB的延长线与弦CD的延长线相交于点P，E为⊙O上一点，AE=AC，求证：∠PDE=∠POC．

22. 难度：中等

选修4-2：矩阵与变换
已知圆C：x²+y²=1在矩阵（a＞0，b＞0）对应的变换作用下变为椭圆=1，求a，b的值．

23. 难度：中等

在极坐标系中，求经过三点O（0，0），A（2，），B（2，）的圆的极坐标方程．

24. 难度：中等

已知x，y，z均为正数．求证：．

25. 难度：中等

已知函数f（x）=ln （ax+1）+，其中a＞0．
（1）若f（x）在x=1处取得极值，求a的值；
（2）若f（x）的最小值为1，求a的取值范围．

26. 难度：中等

过抛物线y²=4x上一点A（1，2）作抛物线的切线，分别交x轴于点B，交y轴于点D，点C（异于点A）在抛物线上，点E在线段AC上，满足=λ₁；点F在线段BC上，满足=λ₂，且λ₁+λ₂=1，线段CD与EF交于点P．
（1）设，求λ；
（2）当点C在抛物线上移动时，求点P的轨迹方程．