2012年河南省新乡、许昌、平顶山高考数学二模试卷（理科）（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

已知i为虚数单位，复数，则|z|+=（ ）
A．i
B．1-i
C．1+i
D．-i

2. 难度：中等

已知x∈（-，0），cosx=，则tan2x=（ ）
A．
B．
C．
D．

3. 难度：中等

如图是一几何体的三视图，它的正视图是由一个矩形和一个半圆组成，则该几何体的体积为（ ）

A．96+8π米³
B．64+8π米³
C．96+16π米³
D．64+16π米³

4. 难度：中等

已知单位向量，，满足，则与夹角的余弦值为（ ）
A．
B．
C．
D．

5. 难度：中等

在△ABC中，三个内角A，B，C所对的边为a，b，c，且b²=a²-ac+c²，C-A=90°，则cosAcosC=（ ）
A．
B．
C．
D．

6. 难度：中等

设F是抛物线C₁：y²=2px（p＞0）的焦点，点A是抛物线与双曲线C₂：的一条渐近线的一个公共点，且AF⊥x轴，则双曲线的离心率为（ ）
A．2
B．
C．
D．

7. 难度：中等

已知定义在R上的偶函数f（x）满足f（4+x）=f（x），且在区间[0，2]上是增函数，那么f（0）＜0是函数f（x）在区间[0，6]上有3个零点的（ ）
A．充要条件
B．充分不必要条件
C．必要不充分条件
D．既不充分也不必要条件

8. 难度：中等

某程序框图如图所示，则该程序运行后输出的S的值为（ ）

A．1
B．
C．
D．

9. 难度：中等

设z= 若-2≤x≤2，-2≤y≤2，则z的最小值为（ ）
A．-4
B．-2
C．-1
D．0

10. 难度：中等

已知圆锥的母线长为1，那么该圆锥体积的最大值为（ ）
A．
B．
C．
D．

11. 难度：中等

某单位安排7位员工在2012年1月22日至1月28日（即今年除夕到正月初六）值班，每天安排1人，每人值班1天．若7位员工中的甲、乙排在相邻两天，丙不排在除夕，丁不排在初一，则不同的安排方案共有（ ）
A．504种
B．960种
C．1008种
D．1056种

12. 难度：中等

设U为全集，对集合X，Y，定义运算“*”，X*Y=∁_U（X∩Y）．对于任意集合X，Y，Z，则（ X*Y ）*Z=（ ）
A．（X∪Y）∩∁_U Z
B．（X∩Y）∪∁_U Z
C．（∁_U X∪∁_U Y ）∩Z
D．（∁_U X∩∁_U Y ）∪Z

二、填空题

13. 难度：中等

如图，EFGH 是以O为圆心，半径为1的圆的内接正方形．将一颗豆子随机地扔到该院内，用A表示事件“豆子落在正方形EFGH内”，B表示事件“豆子落在扇形OHE（阴影部分）内”，则
（1）P（A）=    ；           
（2）P（B|A）=    ．

14. 难度：中等

在长方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AA₁=AD=2AB，若E，F分别为线段A₁D₁，CC₁的中点，则直线EF与平面ABB₁A₁所成角的余弦值为_    ．

15. 难度：中等

已知圆C的圆心与抛物线y²=4x的焦点关于直线y=x对称．直线4x-3y-2=0与圆C相交与A、B两点，且|AB|=6，则圆C的方程为    ．

16. 难度：中等

已知函数．如下定义一列函数：f₁（x）=f（x），f₂（x）=f（f₁（x）），f₃（x）=f（f₂（x）），…，f_n（x）=f（f_n-1（x）），…，n∈N^*，那么由归纳推理可得函数f_n（x）的解析式是f_n（x）=    ．

三、解答题

17. 难度：中等

已知数列{a_n}是一个公差大于0的等差数列，且满足a₃a₆=55，a₂+a₇=16
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）数列{a_n}和数列{b_n}满足等式a_n=（n∈N^*），求数列{b_n}的前n项和S_n．

18. 难度：中等

在一次人才招聘会上，有A、B、C三种不同的技工面向社会招聘．已知某技术人员应聘A、B、C三种技工被录用的概率分别是0.8、0.5、0.2 （允许受聘人员同时被多种技工录用）．
（I）求该技术人员被录用的概率；
（Ⅱ）设X表示该技术人员被录用的工种数与未被录用的工种数的积．
i） 求X的分布列和数学期望；
ii）“设函数是偶函数”为事件D，求事件D发生的概率．

19. 难度：中等

如图，已知△AOB，∠AOB=，∠BAO=，AB=4，D为线段AB的中点．若△AOC是△AOB绕直线AO旋转而成的．记二面角B-AO-C的大小为θ．
（Ⅰ） 当平面COD⊥平面AOB时，求θ的值；
（Ⅱ） 当θ∈[，]时，求二面角C-OD-B的余弦值的取值范围．

20. 难度：中等

已知中心在原点O，焦点在x轴上，离心率为的椭圆过点（，）．
（1）求椭圆的方程；
（2）设不过原点O的直线l与该椭圆交于P，Q两点，满足直线OP，PQ，OQ的斜率依次成等比数列，求△OPQ面积的取值范围．

21. 难度：中等

设a≥0，函数f（x）=[x²+（a-3）x-2a+3]e^x，．
（ I）当a≥1时，求f（x）的最小值；
（ II）假设存在x₁，x₂∈（0，+∞），使得|f（x₁）-g（x₂）|＜1成立，求a的取值范围．

22. 难度：中等

如图，已知⊙O₁与⊙O₂外切于点P，AB是两圆的外公切线，A，B为切点，AB与O₁O₂的延长线相交于点C，延长AP交⊙O₂于点D，点E在AD延长线上，
（1）求证：△ABP是直角三角形；
（2）若，求的值．

23. 难度：中等

在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为（t为参数），在极坐标系（与直角坐标系xOy取相同的长度单位，且以原点O为极点，以x轴正半轴为极轴）中，圆C的方程为．
（Ⅰ）求圆C的圆心到直线l的距离；
（Ⅱ）设圆C与直线l交于点A、B．若点P的坐标为（3，），求|PA|+|PB|．

24. 难度：中等

已知函数f（x）和g（x）的图象关于原点对称，且f（x）=x²+2x．
（Ⅰ）解关于x的不等式g（x）≥f（x）-|x-1|；
（Ⅱ）如果对∀x∈R，不等式g（x）+c≤f（x）-|x-1|恒成立，求实数c的取值范围．