2003年北京市高考数学试卷（文科）（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

设集合A={x|x²-1＞0}，B={x|log₂x＞0|}，则A∩B等于（ ）
A．{x|x＞1}
B．{x|x＞0}
C．{x|x＜-1}
D．{x|x＞1或x＜-1}

2. 难度：中等

设，，，则（ ）
A．y₃＞y₁＞y₂
B．y₂＞y₁＞y₃
C．y₁＞y₂＞y₃
D．y₁＞y₃＞y₂

3. 难度：中等

“”是“”的（ ）
A．必要非充分条件
B．充分非必要条件
C．充分必要条件
D．既非充分又非必要条件

4. 难度：中等

已知α，β是平面，m，n是直线．下列命题中不正确的是（ ）
A．若m∥α，α∩β=n，则m∥n
B．若m∥n，α∩β=n，且mα则m∥α
C．若m⊥α，m⊥β，则α∥β
D．若m⊥α，m⊂β，则α⊥β

5. 难度：中等

直线l：x-2y+2=0过椭圆左焦点F₁和一个顶点B，则该椭圆的离心率为（ ）
A．
B．
C．
D．

6. 难度：中等

若z∈C，且|z+2-2i|=1，则|z-2-2i|的最小值是（ ）
A．2
B．3
C．4
D．5

7. 难度：中等

如果圆台的母线与底面成60°角，那么这个圆台的侧面积与轴截面面积的比为（ ）
A．2π
B．
C．
D．

8. 难度：中等

若数列{a_n}的通项公式是，则等于（ ）
A．
B．
C．
D．

9. 难度：中等

从黄瓜、白菜、油菜、扁豆4种蔬菜品种中选出3种，分别种在不同土质的三块土地上，其中黄瓜必须种植．不同的种植方法共有（ ）
A．24种
B．18种
C．12种
D．6种

10. 难度：中等

某班试用电子投票系统选举班干部候选人．全班k名同学都有选举权和被选举权，他们的编号分别为1，2，…，k，规定：同意按“1”，不同意（含弃权）按“0”，令其中i=1，2，…，k，且j=1，2，…，k，则同时同意第1，2号同学当选的人数为（ ）
A．a₁₁+a₁₂+…+a_1k+a₂₁+a₂₂+…+a_2k
B．a₁₁+a₂₁+…+a_k1+a₁₂+a₂₂+…+a_k2
C．a₁₁a₁₂+a₂₁a₂₂+…+a_k1a_k2
D．a₁₁a₂₁+a₁₂a₂₂+…+a_1ka_2k

二、填空题

11. 难度：中等

已知某球体的体积与其表面积的数值相等，则此球体的半径为    ．

12. 难度：中等

函数f（x）=lg（1+x²），g（x）=2-|x|，h（x）=tan2x中，    是偶函数．

13. 难度：中等

以双曲线右顶点为顶点，左焦点为焦点的抛物线的方程是    ．

14. 难度：中等

将长度为1的铁丝分成两段，分别围成一个正方形和一个圆形，要使正方形与圆的面积之和最小，正方形的周长应为    ．

三、解答题

15. 难度：中等

已知函数f（x）=cos⁴x-2sinxcosx-sin⁴x．
（Ⅰ）求f（x）的最小正周期；
（Ⅱ）求f（x）的最大值、最小值．

16. 难度：中等

已知数列{a_n}是等差数列，且a₁=2，a₁+a₂+a₃=12．
（Ⅰ）求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）令b_n=a_n3ⁿ（x∈R）．求数列{b_n}前n项和的公式．

17. 难度：中等

如图，正三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，D是BC的中点，AB=a．
（Ⅰ）求证：直线A₁D⊥B₁C₁；
（Ⅱ）求点D到平面ACC₁的距离；
（Ⅲ）判断A₁B与平面ADC的位置关系，并证明你的结论．

18. 难度：中等

如图，A₁，A为椭圆的两个顶点，F₁，F₂为椭圆的两个焦点．
（Ⅰ）写出椭圆的方程及准线方程；
（Ⅱ）过线段OA上异于O，A的任一点K作OA的垂线，交椭圆于P，P₁两点，直线A₁P与AP₁交于点M．求证：点M在双曲线上．

19. 难度：中等

有三个新兴城镇，分别位于A，B，C三点处，且AB=AC=13km，BC=10km．今计划合建一个中心医院，为同时方便三镇，准备建在BC的垂直平分线上的P点处，（建立坐标系如图）
（Ⅰ）若希望点P到三镇距离的平方和为最小，点P应位于何处？
（Ⅱ）若希望点P到三镇的最远距离为最小，点P应位于何处？

20. 难度：中等

设y=f（x）是定义在区间[-1，1]上的函数，且满足条件：（i）f（-1）=f（1）=0；（ii）对任意的u，v∈[-1，1]，都有|f（u）-f（v）|≤|u-v|．
（Ⅰ）证明：对任意的x∈[-1，1]，都有x-1≤f（x）≤1-x；
（Ⅱ）判断函数是否满足题设条件；
（Ⅲ）在区间[-1，1]上是否存在满足题设条件的函数y=f（x），且使得对任意的u，v∈[-1，1]，都有|f（u）-f（v）|=u-v．
若存在，请举一例：若不存在，请说明理由．