2013年高考数学复习卷C（三）（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

已知正△ABC的边长为a，那么△ABC的平面直观图△A′B′C′的面积为（ ）
A．
B．
C．
D．

2. 难度：中等

某几何体的正视图和侧视图均为如图1所示，则在图2的四个图中可以作为该几何体的俯视图的是（ ）

A．（1）（3）
B．（1）（4）
C．（2）（4）
D．（1）（2）（3）（4）

3. 难度：中等

已知正四棱锥的底面边长为2a，其左视图如图所示．当主视图的面积最大时，该四棱锥的体积和表面积分别为（ ）

A．
B．
C．
D．

4. 难度：中等

如图为一个几何体的三视图，尺寸如图所示，则该几可体的表面积为（ ）（不考虑接触点）

A．
B．
C．
D．32+π

5. 难度：中等

如图，三棱锥A-BCD的底面是等腰直角三角形，AB⊥平面BCD，AB=BC=BD=2，E是棱CD上的任意一点，F、G分别是AC、BC的中点，则在下面的命题中：①平面ABE⊥平面BCD；②平面EFG∥平面ABD；③四面体FECG的体积最大值是，真命题的个数是（ ）

A．0
B．1
C．2
D．3

6. 难度：中等

已知三棱柱ABC-A₁B₁C₁的侧棱与底面边长都相等，A₁在底面ABC上的射影为BC的中点，则异面直线AB与CC₁所成的角的余弦值为（ ）

A．
B．
C．
D．

二、填空题

7. 难度：中等

设l，m，n为三条不同的直线，a为一个平面，对于下列命题：
①若l⊥a，则l与a相交；
②若m⊂a，n⊂a，l⊥m，l⊥n，则l⊥a；
③若l∥m，m∥n，l⊥a，则n⊥a；
④若l∥m，m⊥a，n⊥a，则l∥n．
其中正确命题的序号是    ．

8. 难度：中等

已知正三棱锥S-ABC中，E是侧棱SC的中点，且SA⊥BE，则SB与底面ABC所成角的余弦值为    ．

三、解答题

9. 难度：中等

平面ABDE⊥平面ABC，△ABC是等腰直角三角形，AC=BC=4，四边形ABDE是直角梯形，BD∥AE，BD⊥BA，，O、M分别为CE、AB的中点．
（I）求证：OD∥平面ABC；
（II）能否在EM上找一点N，使得ON⊥平面ABDE？若能，请指出点N的位置，并加以证明；若不能，请说明理由．

10. 难度：中等

如图，四棱锥P-ABCD中，PA⊥底面ABCD，PC⊥AD．底面ABCD为梯形，AB∥DC，AB⊥BC，PA=AB=BC，点E在棱PB上，且PE=2EB．
（1）求证：平面PAB⊥平面PCB；
（2）求证：PD∥平面EAC．

11. 难度：中等

如左图所示，直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC=90°，E、F分别是边AD和BC上的点，且EF∥AB，AD=2AE=2AB=4FC=4，将四边形EFCD沿EF折起使AE=AD，如右图所示．
（1）求证：AF∥平面CBD；
（2）求三棱锥C-ABF的体积．

12. 难度：中等

在如图所示的几何体中，四边形ABCD为平行四边形，∠ABD=90°，EB⊥平面ABCD，EF∥AB，AB=2，EF=1，，且M是BD的中点．
（Ⅰ）求证：EM∥平面ADF；
（Ⅱ）在EB上是否存在一点P，使得∠CPD最大？若存在，请求出∠CPD的正切值；若不存在，请说明理由．

四、选择题

13. 难度：中等

如图所示为一个简单几何体的三视图，则其对应的几何体是（ ）

A．
B．
C．
D．

14. 难度：中等

如图，一个正三棱柱的左（侧）视图是边长为的正方形，则它的外接球的表面积等于（ ）
A．8π
B．π
C．9π
D．π

15. 难度：中等

已知侧棱垂直于底面的三棱柱CDE-C₁D₁E₁的顶点都在同一球面上，在△CDE中，∠DCE=60°，CD=5，CE=4，该球的体积为，则三棱锥C₁-CDE的体积为（ ）
A．
B．
C．
D．

五、解答题

16. 难度：中等

如图，在三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，侧棱AA₁⊥底面ABC，AB⊥BC，D为AC的中点，A₁A=AB=2．
（1）求证：AB₁∥平面BC₁D；
（2）若四棱锥B-AA₁C₁D的体积为3，求二面角C-BC₁-D的正切值．

17. 难度：中等

一个多面体的三视图和直观图如图所示，其中M，N分别是AB，AC的中点，G是DF上的一个动点，且DG=λDF（0＜λ≤1）．

（1）求证：对任意的λ∈（0，1），都有GN⊥AC；
（2）当时，求证：AG∥平面FMC．