2013年高考数学复习卷D（十二）（解析版）

一、填空题

1. 难度：中等

已知AD是△ABC中BC边上的高，若AD²=BD•CD，则△ABC的形状是    ．

二、解答题

2. 难度：中等

在△ABC中，已知CM是∠ACB的角平分线，△AMC的外接圆交BC于点N，．求证：BN=2AM．

3. 难度：中等

在直径是AB的半圆上有两点M，N，设AN与BM的交点是P．求证：AP•AN+BP•BM=AB²．

三、填空题

4. 难度：中等

如图，已知AB和AC是圆的两条弦，过点B作圆的切线与AC的延长线相交于点D，过点C作BD的平行线与圆相交于点E，与AB相交于点F，AF=3，FB=1，EF=，则线段CD的长为    ．

四、解答题

5. 难度：中等

已知矩阵A=，求A的特征值λ₁，λ₂及对应的特征向量a₁，a₂．

6. 难度：中等

已知矩阵A=（  ），向量α=（）．
（1）求A的特征值λ₁，λ₂和对应的一个特征向量α₁，α₂；
（2）计算A⁵α的值．

7. 难度：中等

在直角标系xOy中，点（2，-2）在矩阵M=（）对应变换作用下得到点（-2，4），曲线C：x²+y²=1在矩阵M对应变换作用下得到曲线C'，求曲线C'的方程．

8. 难度：中等

设M是把坐标平面上的点的横坐标伸长到2倍，纵坐标伸长到3倍的伸压变换．
（Ⅰ）求矩阵M的特征值及相应的特征向量；
（Ⅱ）求逆矩阵M^-1以及椭圆在M^-1的作用下的新曲线的方程．

9. 难度：中等

选修4-4：坐标系与参数方程
已知极坐标系的极点在直角坐标系的原点处，极轴与x轴的正半轴重合．直线l的参数方程为：（t为参数），曲线C的极坐标方程为：ρ=4cosθ．
（Ⅰ）写出C的直角坐标方程，并指出C是什么曲线；
（Ⅱ）设直线l与曲线C相交于P、Q两点，求|PQ|值．

五、填空题

10. 难度：中等

已知曲线（θ为参数，0≤θ≤π）上一点P，原点为0，直线P0的倾斜角为，则P点的坐标是    ．

11. 难度：中等

已知曲线C₁，C₂的极坐标方程分别为ρcosθ=3，，则曲线C₁与C₂交点的极坐标为    ．

六、解答题

12. 难度：中等

选修4-4：坐标系与参数方程
在直角坐标系xOy中，圆，圆
（I）在以圆O为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，分别写出圆C₁，C₂的极坐标方程，并求出圆C₁，C₂的交点坐标（用坐标表示）；
（Ⅱ）求圆C₁与C₂的公共弦的参数方程．

13. 难度：中等

已知函数f（x）=|2x+1|+|2x-3|．
（Ⅰ）求不等式f（x）≤6的解集；
（Ⅱ）若关于x的不等式f（x）＜|a-1|的解集非空，求实数a的取值范围．

七、填空题

14. 难度：中等

若对任意的a∈R，不等式|x|+|x-1|≥|1+a|-|1-a|恒成立，则实数x的取值范围是    ．

八、解答题

15. 难度：中等

（选做题）已知a，b，c∈（0，+∞），且，求a+2b+3c的最小值及取得最小值时a，b，c的值．

16. 难度：中等

选修4-5：不等式选讲
已知函数f（x）=m-|x-2|，m∈R，且f（x+2）≥0的解集为[-1，1]．
（Ⅰ）求m的值；
（Ⅱ）若a，b，c∈R，且，求证：a+2b+3c≥9．

九、填空题

17. 难度：中等

不等式|x+1|-|x-3|＜a的解集为非空集合，则实数a的取值范围是    ．

18. 难度：中等

极坐标系中，曲线ρ=-4sinθ和ρcosθ=1相交于点A，B，则线段AB的长度为    ．

19. 难度：中等

（坐标系与参数方程选做题）设曲线C的参数方程为（t为参数），若以直角坐标系的原点为极点，x算轴的正半轴为极轴建立极坐标系，则曲线C的极坐标方程为    ．

十、解答题

20. 难度：中等

如图所示，半径为5的圆O的两条弦AD和BC相交于点P，OD⊥BC，P为AD的中点，BC=6，则弦AD的长度为______

21. 难度：中等

已知圆O的直径AB=4，C为圆上一点，过C作CD⊥AB于D，若CD=，则AC的值为______

十一、填空题

22. 难度：中等

已知点M在曲线互上，点N在曲线（α为参数）上，则|MN|的最大值为    ．

23. 难度：中等

若不等式|x+1|-|x-2|＞m对x∈R恒成立，则实数m的取值范围是    ．

24. 难度：中等

设P是边长为的正△ABC内的一点，x，y，z是P到三角形三边的距离，则的最大值为    ．

25. 难度：中等

直线（t为参数）被曲线所截得的弦长为    ．

十二、解答题

26. 难度：中等

（选做题）已知矩阵的一个特征值为3，求另一个特征值及其对应的一个特征向量．

27. 难度：中等

如图，四边形ABCD内接于⊙O，=，过A点的切线交CB的延长线于E点．求证：AB²=BE•CD．

28. 难度：中等

求矩阵M=的特征值和特征向量．

29. 难度：中等

已知f（x）=|x-1|+|x+2|．
（1）解不等式f（x）≥5；
（2）若关于x的不等式f（x）＞a²-2a对于任意的x∈R恒成立，求a的取值范围．

30. 难度：中等

已知a，b，c∈R₊，且a+b+c=1，求的最大值．

31. 难度：中等

设a，b，c∈R₊，且abc=1，求证：．

32. 难度：中等

已知曲线C的极坐标方程为ρ=4sinθ，以极点为原点，极轴为x轴的非负半轴建立平面直角坐标系，直线l的参数方程为（t为参数），求直线l被曲线C截得的线段长度．

33. 难度：中等

若矩阵A有特征向量i=（）和j=（），且它们所对应的特征值分别为λ₁=2，λ₂=-1．
（1）求矩阵A及其逆矩阵A^-1；
（2）求逆矩阵A^-1的特征值及特征向量；
（3）对任意向量α=（），求（（A^-1）²⁰α．