2013年高考数学复习卷E（十）（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

“因为指数函数y=a^x是增函数（大前提），而y=（）^x是指数函数（小前提），所以y=（）^x是增函数（结论）”，上面推理的错误是（ ）
A．大前提错导致结论错
B．小前提错导致结论错
C．推理形式错导致结论错
D．大前提和小前提错都导致结论错

2. 难度：中等

观察下列各式：5⁵=3 125，5⁶=15 625，5⁷=78 125，…，则5²⁰¹¹的末四位数字为（ ）
A．3 125
B．5 625
C．0 625
D．8 125

二、填空题

3. 难度：中等

已知f（n）=1+++…+（n∈N₊，n≥2），经计算得f（4）＞2，f（8），f（16）＞3，f（32），由此可推得一般性结论为    ．

4. 难度：中等

a＞b＞c，n∈N^*，且恒成立，则n的最大值为     ．

5. 难度：中等

设函数f（x）=（x＞0），观察：
 f₁（x）=f（x）=，
 f₂（x）=f（f₁（x））=，
 f₃（x）=f（f₂（x））=，
 f₄（x）=f（f₃（x））=，
…
根据以上事实，由归纳推理可得：
当n∈N^*且n≥2时，f_n（x）=f（f_n-1（x））=    ．

6. 难度：中等

研究问题：“已知关于x的不等式ax²-bx+c＞0的解集为（1，3），解关于x的不等式cx²-bx+a＞0”，有如下解法：
【解析】
由ax²-bx+c＞0⇒，令，则，所以不等式cx²-bx+a＞0的解集为．
参考上述解法，已知关于x的不等式的解集为（-2，-1）∪（2，3），则关于x的不等式的解集为    ．

三、解答题

7. 难度：中等

已知椭圆具有性质：若M、N是椭圆C：+=1（a＞b＞0）上关于原点对称的两个点，点P是椭圆上任意一点，当直线PM、PN的斜率都存在，并记为k_PM、k_PN时，那么k_PM与k_PN之积是与点P位置无关的定值．试对双曲线C′：-=1写出具有类似特性的性质，并加以证明．

8. 难度：中等

（1）设数列{a_n}是公比为q的等比数列，S_n是它的前n项和，证明：数列{S_n}不是等比数列．
（2）已知f（x）=a^x+（a＞1），证明：方程f（x）=0没有负根．

9. 难度：中等

已知f（x）=ax²+bx+c，若a+c=0，f（x）在[-1，1]上的最大值为2，最小值为-．求证：a≠0且||＜2．

10. 难度：中等

试证明：在平面上所有过点（，0）的直线中，至少通过两个有理点（有理点指横、纵坐标均为有理数的点）的直线有且只有一条．