2013年天津市滨海新区五所重点学校高三联考数学试卷（理科）（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

复数（其中i为虚数单位）的虚部等于（ ）
A．-i
B．-1
C．1
D．0

2. 难度：中等

p：|x|＞2是q：x＜-2的（ ）
A．充分必要条件
B．充分不必要条件
C．必要不充分条件
D．既不充分也不必要条件

3. 难度：中等

阅读如图的程序框图，若运行相应的程序，则输出的S的值是（ ）

A．39
B．21
C．81
D．102

4. 难度：中等

若（a＞0）展开式中x³的系数为，则a的值为（ ）
A．
B．
C．
D．1

5. 难度：中等

已知双曲线=1（a＞0，b＞0）的左右焦点分别为F₁，F₂，在双曲线右支上存在一点P满足PF₁⊥PF₂且∠PF₁F₂=，那么双曲线的离心率是（ ）
A．
B．
C．
D．

6. 难度：中等

在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，其中A=120°，b=1，且△ABC面积为，则=（ ）
A．
B．
C．
D．

7. 难度：中等

在平行四边形ABCD中，，，连接CE、DF相交于点M，若，则实数λ与μ的乘积为（ ）
A．
B．
C．
D．

8. 难度：中等

已知函数f（x）=1+x-+-+…+，g（x）=1-x+-+-…-，设函数F（x）=f（x+3）•g（x-4），且函数F（x）的零点均在区间[a，b]（a＜b，a，b∈Z内，则b-a的最小值为（ ）
A．8
B．9
C．10
D．11

二、填空题

9. 难度：中等

某工厂生产A、B、C三种不同型号的产品，产品数量之比依次为2：3：4，现用分层抽样方法抽出一个容量为n的样本，其中A型号产品有16件，那么此样品容量为n=    ．

10. 难度：中等

如图是一个空间几何体的三视图，则该几何体的体积大小为    ．

11. 难度：中等

已知a=，b=2^0.6，c=log₄3，则a，b，c的大小关系从小到大为    ．

12. 难度：中等

己知集合，若A∩B={x|-1＜x＜1}，A∪B={x|-4＜x＜3}，则实数m等于    ．

13. 难度：中等

直线l：（t为参数），圆C：ρ=2（极轴与x轴的非负半轴重合，且单位长度相同），若直线l被圆C截得的弦长为，则实数a的值为    ．

14. 难度：中等

设函数，A为坐标原点，A_n为函数y=f（x）图象上横坐标为n（n∈N^*）的点，向量，向量i=（1，0），设θ_n为向量a_n与向量i的夹角，则满足的最大整数n是    ．

三、解答题

15. 难度：中等

已知函数f（x）=sin²x+2sinxcosx+3cos²x，x∈R．求：
（Ⅰ）求函数f（x）的最小正周期和单调递增区间；
（Ⅱ）求函数f（x）在区间上的值域．

16. 难度：中等

甲、乙两人参加某种选拔测试．规定每人必须从备选的6道题中随机抽出3道题进行测试，在备选的6道题中，甲答对其中每道题的概率都是，乙只能答对其中的3道题．答对一题加10分，答错一题（不答视为答错）得0分．
（Ⅰ）求乙得分的分布列和数学期望；
（Ⅱ）规定：每个人至少得20分才能通过测试，求甲、乙两人中至少有一人通过测试的概率．

17. 难度：中等

如图在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是边长为a的正方形，侧面PAD⊥底面ABCD，且PA=PD=AD，设E、F分别为PC、BD的中点．
（Ⅰ） 求证：EF∥平面PAD；
（Ⅱ） 求证：面PAB⊥平面PDC；
（Ⅲ） 求二面角B-PD-C的正切值．

18. 难度：中等

已知数列{a_n}的前n项和为S_n，且S_n=2a_n-2（n∈N^*），数列{b_n}满足b₁=1，且点P（b_n，b_n+1）（n∈N^*）在直线y=x+2上．
（Ⅰ）求数列{a_n}、{b_n}的通项公式；
（Ⅱ）求数列{a_n•b_n}的前n项和D_n；
（Ⅲ）设c_n=a_n•sin²，求数列{c_n}的前2n项和T_2n．

19. 难度：中等

设椭圆C：的左、右焦点分别为F₁、F₂，上顶点为A，在x轴负半轴上有一点B，满足，且AB⊥AF₂．
（Ⅰ）求椭圆C的离心率；
（Ⅱ）若过A、B、F₂三点的圆恰好与直线相切，求椭圆C的方程；                      
（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，过右焦点F₂作斜率为k的直线l与椭圆C交于M、N两点，若点P（m，0）使得以PM，PN为邻边的平行四边形是菱形，求的取值范围．

20. 难度：中等

设函数f（x）=，g（x）=x³-x²-3．
（Ⅰ）讨论函数的单调性；
（Ⅱ）如果存在x₁，x₂∈[0，2]，使得g（x₁）-g（x₂）≥M成立，求满足上述条件的最大整数M；
（Ⅲ）如果对任意的s，t，都有f（s）≥g（t）成立，求实数a的取值范围．