2013年高考数学复习卷D（七）（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

某几何体的正视图和侧视图均如图所示，则该几何体的俯视图不可能是（ ）
A．
B．
C．
D．

2. 难度：中等

如图，水平放置的三棱柱的侧棱长和底面边长均为2，且侧棱AA₁⊥底面A₁B₁C₁，主视图是边长为2的正方形，该三棱柱的左视图面积为（ ）

A．4
B．
C．
D．

3. 难度：中等

一个空间几何体的三视图如图所示，则这个空间几何体的表面积是（ ）

A．4π
B．4（π+1）
C．5π
D．6π

4. 难度：中等

设有直线m、n和平面α、β，下列四个命题中，正确的是（ ）
A．若m∥α，n∥α，则m∥n
B．若m⊂α，n⊂α，m∥β，n∥β，则α∥β
C．若α⊥β，m⊂α，则m⊥β
D．若α⊥β，m⊥β，m⊄α，则m∥α

5. 难度：中等

一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体的体积为（ ）

A．
B．
C．
D．

6. 难度：中等

设m、n是不同的直线，α、β、γ是不同的平面，有以下四个命题：
①若α∥β，α∥γ，则β∥γ
②若α⊥β，m∥α，则m⊥β
③若m⊥α，m∥β，则α⊥β
④若m∥n，n⊂α，则m∥α
其中真命题的序号是（ ）
A．①④
B．②③
C．②④
D．①③

7. 难度：中等

已知E，F，G，H是空间四点，命题甲：E，F，G，H四点不共面，命题乙：直线EF和GH不相交，则甲是乙成立的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件

8. 难度：中等

已知三棱柱ABC-A₁B₁C₁的侧棱与底面边长都相等，A₁在底面ABC内的射影为△ABC的中心，则AC₁与底面ABC所成角的余弦值等于（ ）
A．
B．
C．
D．

9. 难度：中等

异面直线a，b所成角为，直线c⊥a，且c也与b异面，则直线b与c所成的角的范围为（ ）
A．[，]
B．[，]
C．[，]
D．[，]

10. 难度：中等

如图正方形OABC的边长为1cm，它是水平放置的一个平面图形的直观图，则原图形的周长是（ ）

A．8cm
B．6cm
C．
D．

11. 难度：中等

设a，b为两条直线，α，β属为两个平面，且a⊄α，a⊄β，则下列结论中不成立的是（ ）
A．若b⊂β，a∥b，则a∥β
B．若a⊥β，α⊥β，则a∥α
C．若a⊥b，b⊥α，则a∥α
D．若α⊥β，a⊥β，b∥a，则b∥α

12. 难度：中等

设l、m、n表示不同的直线，α、β、γ表示不同的平面，给出下列4个命题：
①若m∥l，且m⊥α，则l⊥α；
②若m∥l，且m∥α，则l∥α；
③若α∩β=l，β∩γ=m，γ∩α=n，则l∥m∥n；
④若α∩β=m，β∩γ=l，α∩γ=n，且n∥β，则m∥l．
其中正确命题的个数是（ ）
A．1
B．2
C．3
D．4

二、填空题

13. 难度：中等

如图所示，在长方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AB=AD=2AA₁=4，点O是底面ABCD的中心，点E是A₁D₁的中点，点P是底面ABCD上的动点，且到直线OE的距离等于1．设点P的轨迹为L，则L的离心率等于    ．

14. 难度：中等

一个正方体削去一个角所得到的几何体的三视图如图所示（图中三个四边形都是边长为2的正方形），则该几何体外接球的体积为    ．

15. 难度：中等

设M、N是直角梯形ABCD两腰的中点，DE⊥AB于E（如图）、现将△ADE沿DE折起，使二面角A-DE-B为45°，此时点A在平面BCDE内的射影恰为点B，则M、N的连线与AE所成角的大小等于    ．

16. 难度：中等

已知一个正三棱锥P-ABC的主视图如图所示，若AC=BC=，PC=，则此正三棱锥的全面积为     ．

17. 难度：中等

如图所示，在单位正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁的面对角线A₁B上存在一点P使得AP+D₁P最短，则AP+D₁P的最小值为    ．

18. 难度：中等

如图所示，在多面体ABCDEF中，已知ABCD是边长为1的正方形，且△ADE，△BCF均为正三角形，EF∥AB，EF=2，则该多面体的体积为    ．

19. 难度：中等

如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是边长为m的正方形，PD⊥底面ABCD，且PD=m，PA=PC=m，若在这个四棱锥内放一个球，则此球的最大半径是    ．

20. 难度：中等

一个水平放置的△ABC用斜二测画法画出的直观图是如图2-7-3所示的边长为1的正△A'B'C'，则在真实图形中AB边上的高是    ，△ABC的面积是    ，直观图和真实图形的面积的比值是    ．

三、解答题

21. 难度：中等

如图所示，平面ABEF⊥平面ABCD，四边形ABEF与ABCD都是直角梯形，∠BAD=∠FAB=90°，BCAD，BEAF，证明：C，D，F，E四点共面．

22. 难度：中等

如图所示，在棱长为2的正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，E，F分别为DD₁、DB的中点．
（Ⅰ）求证：EF∥平面ABC₁D₁；
（Ⅱ）求证：EF⊥B₁C．

23. 难度：中等

已知各个面都是平行四边形的四棱柱ABCD-A′B′C′D′
（1）化简，并在图形中标出其结果；
（2）设M是底面ABCD的中心，N是侧面BCC′B′的对角线BC′上的点，且BN：NC′=3：1，设，试求α，β，γ的值．

24. 难度：中等

如图所示，已知平行四边形ABCD和平行四边形ACEF所在的平面相交于直线AC，EC⊥平面ABCD，AB=1，AD=2，ADC=60°，AF=．
（1）求证：AC⊥BF；
（2）求二面角F-BD-A的余弦值．

25. 难度：中等

已知正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，E为棱CC₁的动点．
（1）当E恰为棱CC₁的中点时，试证明：平面A₁BD⊥平面EBD；
（2）在棱CC₁上是否存在一个点E，可以使二面角A₁-BD-E的大小为45°？如果存在，试确定点E在棱CC₁上的位置；如果不存在，请说明理由．

26. 难度：中等

如图，三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，侧面AA₁C₁C⊥底面ABC，AA₁=A₁C=AC=2，AB=BC，且AB⊥BC，O为AC中点．
（Ⅰ）证明：A₁O⊥平面ABC；
（Ⅱ）求直线A₁C与平面A₁AB所成角的正弦值；
（Ⅲ）在BC₁上是否存在一点E，使得OE∥平面A₁AB，若不存在，说明理由；若存在，确定点E的位置．

27. 难度：中等

如图，四棱锥S-ABCD的底面是正方形，SD⊥平面ABCD，SD=2a，点E是SD上的点，且DE=λa（0＜λ≤2）
（Ⅰ）求证：对任意的λ∈（0，2），都有AC⊥BE
（Ⅱ）设二面角C-AE-D的大小为θ，直线BE与平面ABCD所成的角为φ，若tanθ•tanφ=1，求λ的值．

28. 难度：中等

如图，在正三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AA₁=AB，D是AC的中点．
（1）求证：B₁C∥平面A₁BD；
（2）求证：平面A₁BD⊥平面ACC₁A₁；
（3）求二面角A-A₁B-D的余弦值．

29. 难度：中等

如图所示的△OAB绕x轴和y轴各旋转一周，各自会产生怎样的几何体，分别计算其表面积．

四、填空题

30. 难度：中等

一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为    ．

五、解答题

31. 难度：中等

如图（单位：cm），求图中阴影部分绕AB旋转一周所形成的几何体的表面积和体积．

32. 难度：中等

设M，N分别是正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁的棱BB₁，AD的中点，试作出平面C₁MN与正方体的截面．

33. 难度：中等

在正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，E，F分别为D₁C₁，B₁C₁的中点，AC∩BD=P，A₁C₁∩EF=Q，如图所示．
（1）点D，B，F，E共面吗？
（2）作出直线A₁C与平面BDEF的交点R的位置；
（3）点P，Q，R共线吗？

34. 难度：中等

已知在空间四边形ABCD中，AB=CD=3，点E、F分别是边BC和AD上的点，并且BE：EC=AF：FD=1：2，EF=，求异面直线AB和CD所成角的大小．

35. 难度：中等

如图，在多面体ABCDEF中，四边形ABCD是正方形，AB=2EF=2，EF∥AB，EF⊥FB，∠BFC=90°，BF=FC，H为BC的中点，
（Ⅰ）求证：FH∥平面EDB；
（Ⅱ）求证：AC⊥平面EDB．

36. 难度：中等

在四棱锥P-ABCD中，∠ABC=∠ACD=90°，∠BAC=∠CAD=60°，PA⊥平面ABCD，E为PD的中点，PA=2AB=2．
（Ⅰ）若F为PC的中点，求证PC⊥平面AEF；
（Ⅱ）求证CE∥平面PAB．

37. 难度：中等

如图所示，在各个面都是平行四边形的四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁中，P是CA₁的中点，M是CD₁的中点，N是C₁D₁的中点，点Q在CA₁上，且CQ：QA₁=4：1，设，用基底{a，b，c}表示以下向量：
（1）；
（2）；
（3）；
（4）．

38. 难度：中等

已知=（3，1，5），=（1，2，-3），若•=9，•=-4．
（1）若向量垂直于空间直角坐标系的z轴，试求的坐标；
（2）是否存在向量，使得与z轴共线？试说明理由．

39. 难度：中等

已知三棱锥P-ABC中，PA⊥ABC，AB⊥AC，PA=AC=AB，N为AB上一点，AB=4AN，M，S分别为PB，BC的中点．
（Ⅰ）证明：CM⊥SN；
（Ⅱ）求SN与平面CMN所成角的大小．

40. 难度：中等

如图所示，放置在水平面上的组合体由直三棱柱ABC-A₁B₁C₁与正三棱锥B-ACD组成，其中，AB⊥BC，AB=，BB₁=2．
（1）求直线CA₁与平面ACD所成角的正弦值；
（2）在线段AC₁上是否存在点P，使B₁P⊥平面ACD？若存在，确定点P的位置；若不存在，请说明理由．

41. 难度：中等

如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是矩形，PD⊥平面ABCD，且PD=AD=1，AB=2，点E是AB上一点，AE等于何值时，二面角P-EC-D的平面角为．

42. 难度：中等

如图，ABCD是菱形，PA⊥平面ABCD，PA=AD=2，∠BAD=60，
（1）求点A到平面PBD的距离的值；
（2）求二面角A-PB-D的余弦值．