2013年高考数学复习卷E（三）（解析版）

一、填空题

1. 难度：中等

已知数列{a_n}是等差数列，a₁+a₂+…+a₁₀=10，a₁₁+a₁₂+…+a₂₀=20，a₄₁+a₄₂+…+a₅₀=    ．

2. 难度：中等

等比数列{a_n}满足：a₁+a₆=11，a₃•a₄=，且公比q∈（0，1），则数列的{a_n}通项公式为    ．

3. 难度：中等

对正整数n，设曲线y=xⁿ（1-x）在x=2处的切线与y轴交点的纵坐标为a_n，则数列的前n项和的公式是     ．

4. 难度：中等

已知数列{a_n}满足a_n=，a₁=1，则a_n=    ．

5. 难度：中等

在圆x²+y²=5x内，过点有n（n∈N^*）条弦，它们的长构成等差数列，若a₁为过该点最短弦的长，a_n为过该点最长弦的长，公差，那么n的值是    ．

二、选择题

6. 难度：中等

已知等差数列{a_n}，a₁=15，S₅=55，则过点P（3，a₂），Q（4，a₄）的直线的斜率为（ ）
A．4
B．
C．-4
D．-

7. 难度：中等

四个小动物换座位，开始是鼠、猴、兔、猫分别坐1、2、3、4号位子上（如图），第l次前后排动物互换座位，第2次左右列动物互换座位，…，这样交替进行下去，那么第2011次互换座位后，小兔的座位对应的是（ ）

A．编号1
B．编号2
C．编号3
D．编号4

三、解答题

8. 难度：中等

已知二次函数k≤1图象经过坐标原点，其导函数为f′（x）=6x-2，数列{a_n}的前n项和为S_n，点（n，S_n）（n∈N^*）均在函数y=f（x）的图象上；又b₁=1，c_n=（a_n+2），且₁+2a₂+2²b₃+…+2^n-2b_n-1+2^n-1b_n=c_n，对任意n∈N^*都成立，
（1）求数列{a_n}，{b_n}的通项公式；
（2）求数列{c_n•b_n}的前n项和T_n；
（3）求证：（i）ln（x+1）＜（x＞0）；（ii）＜（n∈N^*，n≥2）．

9. 难度：中等

已知等差数列{a_n}中，公差d＞0，前n项和为S_n，a₂•a₃=45，a₁+a₅=18．
（1）求数列的{a_n}通项公式；
（2）令b_n=（n∈N^*），是否存在一个非零数C，使数列{B_n}也为等差数列？若存在，求出c的值；若不存在，请说明理由．

10. 难度：中等

设数列{a_n}的前n项和为S_n，a₁=1，a_n=+2（n-1）（n∈N^*）．
（1）求证：数列{a_n}为等差数列，并分别写出a_n和S_n关于n的表达式；
（2）设数列{}的前n项和为T_n，证明：≤T_n＜；
（3）是否存在自然数n，使得S₁+++…+-（n-1）²=2011？若存在，求出n的值；若不存在，请说明理由．

11. 难度：中等

在数列{a_n}中，已知a₁=2，a_n+1=（n∈N^*），且满足a_i（a_i-1）＜m（m为常数，且为整数）．
（1）求证：为{-1}等比数列；
（2）求m的最小值．

12. 难度：中等

已知等差数列{a_n}的首项a₁=1，公差d＞0，且第2项、第5项、第14项分别是等比数列{b_n}的第2项、第3项、第4项．
（1）求数列{a_n}与{b_n}的通项公式；
（2）设数列{c_n}对n∈N⁺均有++…+=a_n+1成立，求c₁+c₂+…+c₂₀₁₃的值．

13. 难度：中等

已知曲线C：f（x）=x²，C上的点A，A_n的横坐标分别为1和a_n（n∈N^*），且a₁=5，数列{x_n}满足，设区间D_n=[1，a_n]（a_n＞1），当x∈D_n时，曲线C上存在点P_n（x_n，f（x_n）），使得点P_n处的切线与直线AA_n平行．
（1）证明：{log_t（x_n-1）+1}是等比数列；
（2）当D_n+1⊊D_n对一切n∈N^*恒成立时，求t的取值范围；
（3）记数列{a_n}的前n项和为S_n，当时，试比较S_n与n+7的大小，并证明你的结论．

14. 难度：中等

已知正项数列{a_n}满足a_nⁿ+na_n-1=0（n∈N^*）
（1）求a₁，a₂；
（2）求证：0＜a_n＜1
（3）求证：a₁²+a₂²+…+a_n²＜1．

15. 难度：中等

某企业2003年的纯利润为500万元，因设备老化等原因，企业的生产能力将逐年下降．若不能进行技术改造，预测从今年起每年比上一年纯利润减少20万元，今年初该企业一次性投入资金600万元进行技术改造，预测在未扣除技术改造资金的情况下，第n年（今年为第一年）的利润为500（1+）万元（n为正整数）．
（Ⅰ）设从今年起的前n年，若该企业不进行技术改造的累计纯利润为A_n万元，进行技术改造后的累计纯利润为B_n万元（须扣除技术改造资金），求A_n、B_n的表达式；
（Ⅱ）依上述预测，从今年起该企业至少经过多少年，进行技术改造后的累计纯利润超过不进行技术改造的累计纯利润？