2010-2011学年湖北省黄冈中学等八校高三第二次联考数学试卷（理科）（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

若集合，B={1，m}，若A⊆B，则m的值为（ ）
A．2
B．-1
C．-1或2
D．2或

2. 难度：中等

设等差数列{a_n}的前n项和为S_n，若a₄=9，a₆=11，则S₉等于（ ）
A．180
B．90
C．72
D．10

3. 难度：中等

在样本的频率分布直方图中，共有5个长方形，若中间一个小长方形的面积等于其它4个小长方形的面积和的，且样本容量为100，则正中间的一组的频数为（ ）
A．80
B．0.8
C．20
D．0.2

4. 难度：中等

若满足条件的△ABC有两个，那么a的取值范围是（ ）
A．（1，）
B．（）
C．
D．（1，2）

5. 难度：中等

复数在复平面上的对应点分别是A、B，则∠AOB等于（ ）
A．
B．
C．
D．

6. 难度：中等

已知x，y满足约束条件的最小值是（ ）
A．
B．
C．
D．1

7. 难度：中等

2011年某通讯公司推出一组手机卡号码，卡号的前七位数字固定，后四位数从“0000”到“9999”共10000个号码．公司规定：凡卡号的后四位带数字“6”或“8”的一律作为“金兔卡”，享受一定优惠政策，则这组号码中“金兔卡”的个数为（ ）
A．2000
B．4096
C．5904
D．8320

8. 难度：中等

有三个命题①函数f（x）=lnx+x-2的图象与x轴有2个交点；②函数的反函数是y=（x-1）²（x≥-1）；③函数的图象关于y轴对称．其中真命题是（ ）
A．①③
B．②
C．③
D．②③

9. 难度：中等

若长度为定值的线段AB的两端点分别在x轴正半轴和y轴正半轴上移动，O为坐标原点，则△OAB的重心、内心、外心、垂心的轨迹不可能是（ ）
A．点
B．线段
C．圆弧
D．抛物线的一部分

10. 难度：中等

已知点G是△ABC的重心，点P是△GBC内一点，若的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．（1，2）

二、填空题

11. 难度：中等

二项式展开式中，除常数项外，各项系数的和为    ．

12. 难度：中等

边长是的正三角形ABC内接于体积是的球O，则球面上的点到平面ABC的最大距离为    ．

13. 难度：中等

函数，在区间（-π，π）上单调递增，则实数φ的取值范围为    ．

14. 难度：中等

已知过椭圆的右焦点F斜率是1的直线交椭圆于A、B两点，若，则椭圆的离心率是    ．

15. 难度：中等

在数学中“所有”一词，叫做全称量词，用符号“∀”表示；“存在”一词，叫做存在量词，用符号“∃”表示．设，g（x）=a^x（a＞1，x＞2）．
①若∃x∈（2，+∞），使f（x）=m成立，则实数m的取值范围为    ；
②若∀x₁∈（2，+∞），∃x₂∈（2，+∞）使得f（x₁）=g（x₂），则实数a的取值范围为    ．

三、解答题

16. 难度：中等

已知=（cosx+sinx，sinx），=（cosx-sinx，2cosx）．
（I）求证：向量与向量不可能平行；
（II）若•=1，且x∈[-π，0]，求x的值．

17. 难度：中等

已知某高中某班共有学生50人，其中男生30人，女生20人，班主任决定用分层抽样的方法在自己班上的学生中抽取5人进行高考前心理调查．
（I）若要从这5人中选取2人作为重点调查对象，求至少选取1个男生的概率；
（II）若男生学生考前心理状态好的概率为0.6，女学生考前心理状态好的概率为0.5，ξ表示抽取的5名学生中考前心理状态好的人数，求P（ξ=1）及Eξ．

18. 难度：中等

如图所示，在正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AB=a，E为棱A₁D₁中点．
（I）求二面角E-AC-B的正切值；
（II）求直线A₁C₁到平面EAC的距离．

19. 难度：中等

已知{a_n}是正数组成的数列，其前n项和2S_n=a_n²+a_n（n∈N^*），数列{b_n}满足，．
（I）求数列{a_n}，{b_n}的通项公式；
（II）若c_n=a_nb_n（n∈N^*），数列{c_n}的前n项和．

20. 难度：中等

若圆C过点M（0，1）且与直线l：y=-1相切，设圆心C的轨迹为曲线E，A、B为曲线E上的两点，点．
（I）求曲线E的方程；
（II）若t=6，直线AB的斜率为，过A、B两点的圆N与抛物线在点A处共同的切线，求圆N的方程；
（III）分别过A、B作曲线E的切线，两条切线交于点Q，若点Q恰好在直线l上，求证：t与均为定值．

21. 难度：中等

已知函数f（x）=ax+lnx，a∈R．
（I）当a=-1时，求f（x）的最大值；
（II）对f（x）图象上的任意不同两点P₁（x₁，x₂），P（x₂，y₂）（0＜x₁＜x₂），证明f（x）图象上存在点P（x，y），满足x₁＜x＜x₂，且f（x）图象上以P为切点的切线与直线P₁P₂平等；
（III）当时，设正项数列{a_n}满足：a_n+1=f'（a_n）（n∈N^*），若数列{a_2n}是递减数列，求a₁的取值范围．