2011年河南省新乡、许昌、平顶山高考数学一模试卷（理科）（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

若a为实数，=-i，则a等于（ ）
A．
B．-
C．2
D．-2

2. 难度：中等

若某几何体的三视图（单位：cm）如图所示，则此几何体的表面积为（ ）
A．54cm²
B．60cm²
C．57cm²
D．18cm²

3. 难度：中等

如果执行程序框图，那么输出的S=（ ）

A．2450
B．2500
C．2550
D．2652

4. 难度：中等

若=1，则的值为（ ）
A．3
B．-3
C．-2
D．-

5. 难度：中等

在R上定义的函数f（x）是偶函数，且f（x）=f（2-x），若在区间[1，2]上f′（x）＞0，则f（x）（ ）
A．在区间[-2，-1]上是增函数，在区间[3，4]上是增函数
B．在区间[-2，-1]上是增函数，在区间[3，4]上是减函数
C．在区间[-2，-1]上是减函数，在区间[3，4]上是增函数
D．在区间[-2，-1]上是减函数，在区间[3，4]上是减函数

6. 难度：中等

设双曲线的渐近线与圆（x-3）²+y²=4相切，则双曲线的离心率为（ ）
A．
B．3
C．
D．

7. 难度：中等

如图的阴影部分是由曲线y²=x与y=|x-2|的一部分围成，则它的面积为（ ）

A．
B．
C．2
D．

8. 难度：中等

已知m、n是两条不重合的直线，α、β、γ是三个两两不重合的平面，给出下列四个命题：
①若m⊥α，m⊥β，则α∥β；
②若α⊥γ，β⊥γ，则α∥β；
③若m∥n，且m与α，n与β所成的角相等，则α∥β；
④若m、n是异面直线，m⊂α，m∥β，n⊂β，n∥α，则α∥β，
其中真命题是（ ）
A．①和②
B．①和③
C．③和④
D．①和④

9. 难度：中等

函数f（x）=的零点个数为（ ）
A．0
B．1
C．2
D．3

10. 难度：中等

在△ABC中，∠A=90°，．当最小时，λ=（ ）
A．
B．
C．
D．

11. 难度：中等

从5位男数学教师和4位女数学教师中选出3位教师派到3个班担任班主任（每班1位班主任），要求这3位班主任中男女教师都有，则不同的选派方案共有（ ）
A．210
B．420
C．630
D．840

12. 难度：中等

给出下列两个命题：，则在命题q₁：p₁∨p₂，q₂：p₁∧p₂，q₃：（¬p₁）∧p₂和q₄：p₁∨（¬p₂）中，真命题是（ ）
A．q₁，q₃
B．q₂，q₃
C．q₁，q₄
D．q₂，q₄

二、填空题

13. 难度：中等

已知集合A={x||x+1|≤2}，B={x|＜0}，任取x∈A∪B，则x∉A∩B的概率为    ．

14. 难度：中等

等差数列{a_n}的各项均为正数，a₁=1且a₃，a₆，a₁₀+2成等比数列，则数列{a_n}的前20项和S₂₀=    ．

15. 难度：中等

已知F是抛物线C：y²=8x的焦点，过F作倾斜角为60°的直线交抛物线于A、B两点．设=λ，且|FA|＞|FB|，则λ=    ．

16. 难度：中等

在等边三角形ABC中，M、N、P分别为AB、AC、BC的中点，沿MN将△AMN折起，使得面AMN与面MNCB所成的二面角的余弦值为，则直线AM与NP所成角α应满足    ．

三、解答题

17. 难度：中等

已知函数．
（Ⅰ）求函数f（x）的最小正周期；
（Ⅱ）求函数f（x）在区间上的最小值和最大值．

18. 难度：中等

一个社会调查机构就某社区居民的月收入调查了10 000人，并根据所得数据画了样本的频率分布直方图（如图）．
（1）为了分析居民的收入与年龄、学历、职业等方面的关系，要从这10000人中再用分层抽样方法抽出100人作进一步调查，求月收入在[1500，2000）（元）段应抽出的人数；
（2）为了估计该社区3个居民中恰有2个月收入在[2000，3000）（元）的概率，采用随机模拟的方法：先由计算器算出0到9之间取整数值的随机数，我们用0，1，2，3，…表示收入在[2000，3000）（元）的居民，剩余的数字表示月收入不在[2000，3000）（元）的居民；再以每三个随机数为一组，代表统计的结果，经随机模拟产生了20组随机数如下：
907  966  191  925  271  932  812  458
569  683  431  257  393  027  556  488
730  113  537  989
据此估计，计算该社区3个居民中恰好有2个月收入在[2000，3000）（元）的概率．
（3）任意抽取该社区6个居民，用ξ表示月收入在（2000，3000）（元）的人数，求ξ的数学期望．

19. 难度：中等

在三棱锥S-ABC中，△ABC是边长为4的正三角形，平面SAC⊥平面ABC，SA=SC=，M、N分别为AB、SB的中点．
（Ⅰ）证明：AC⊥SB；
（Ⅱ）求二面角N-CM-B的余弦值；
（Ⅲ）求三棱锥N-BCM的体积．

20. 难度：中等

设点M（x，y）到直线x=4的距离与它到定点（2，0）的距离之比为，并记点M的轨迹为曲线C．
（Ⅰ）求曲线C的方程；
（Ⅱ）过点（2，0）作直线l与曲线C相交于A、B两点，问C上是否存在点P，使得=+成立？若存在，求出直线l的方程；若不存在，说明理由．

21. 难度：中等

设a＞0，已知函数f（x）=e^x（ax²+x+1）．
（Ⅰ）讨论f（x）的单调性；
（Ⅱ）设g（x）=x²-2bx+4．若对∀x₁∈[0，1]，∃x₂∈[1，2]，使f（x₁）≥g（x₂）．求实数b的取值范围．

22. 难度：中等

选修4-1；几何证明选讲
如图，PA为⊙O的切线，PB为过圆心O的割线，PA=AB，以AB为直径的圆交PB于C，交PA的延长线于D．
（Ⅰ）求证：AC=AD；
（Ⅱ）若PA=4，求⊙O的直径．

23. 难度：中等

选修4-5；不等式选讲
（Ⅰ）解不等式：|2x-1|-|x-2|＜0；
（Ⅱ）设a＞0为常数，x，y，z∈R，x+y+z=a，x²+y²+z²=，求z的取值范围．