1. 难度:中等 | |
已知直线l:y=x+,圆O:x2+y2=5,椭圆E:+=1(a>b>0)的离心率e=,直线l被圆O截得的弦长与椭圆的短轴长相等. (Ⅰ)求椭圆E的方程; (Ⅱ)过圆O上任意一点P作椭圆E的两条切线,若切线都存在斜率,求证两切线斜率之积为定值. |
2. 难度:中等 | |
椭圆的两焦点坐标分别为和,且椭圆过点. (1)求椭圆方程; (2)过点作不与y轴垂直的直线l交该椭圆于M、N两点,A为椭圆的左顶点,试判断∠MAN的大小是否为定值,并说明理由. |
3. 难度:中等 | |
设A(x1,y1),B(x2,y2)是椭圆,(a>b>0)上的两点,已知向量=(,),=(,),且,若椭圆的离心率,短轴长为2,O为坐标原点: (Ⅰ)求椭圆的方程; (Ⅱ)若直线AB过椭圆的焦点F(0,c),(c为半焦距),求直线AB的斜率k的值; (Ⅲ)试问:△AOB的面积是否为定值?如果是,请给予证明;如果不是,请说明理由. |
4. 难度:中等 | |
已知椭圆C的中心在原点,焦点在x轴上,长轴长是短轴长的倍,且椭圆C经过点M. (1)求椭圆C的标准方程; (2)过圆O:上的任意一点作圆的一条切线l与椭圆C交于A、B两点.求证:为定值. |
5. 难度:中等 | |
已知平面上的动点P(x,y)及两定点A(-2,0),B(2,0),直线PA,PB的斜率分别是 k1,k2且. (1)求动点P的轨迹C的方程; (2)设直线l:y=kx+m与曲线C交于不同的两点M,N. ①若OM⊥ON(O为坐标原点),证明点O到直线l的距离为定值,并求出这个定值 ②若直线BM,BN的斜率都存在并满足,证明直线l过定点,并求出这个定点. |
6. 难度:中等 | |
已知椭圆(a>b>0)的离心率为,以原点为圆心,椭圆的短半轴为半径的圆与直线相切. (Ⅰ)求椭圆C的方程; (Ⅱ)设P(4,0),A,B是椭圆C上关于x轴对称的任意两个不同的点,连接PB交椭圆C于另一点E,证明直线AE与x轴相交于定点Q; (Ⅲ)在(Ⅱ)的条件下,过点Q的直线与椭圆C交于M,N两点,求的取值范围. |
7. 难度:中等 | |
已知椭圆Ω的离心率为,它的一个焦点和抛物线y2=-4x的焦点重合. (1)求椭圆Ω的方程; (2)若椭圆上过点(x,y)的切线方程为. ①过直线l:x=4上点M引椭圆Ω的两条切线,切点分别为A,B,求证:直线AB恒过定点C; ②是否存在实数λ使得|AC|+|BC|=λ•|AC|•|BC|,若存在,求出A的值;若不存在,说明理由. |
8. 难度:中等 | |
已知椭圆C的中心在原点,焦点在x轴上,它的一个顶点恰好是抛物线的焦点,离心率等于. (1)求椭圆C的方程; (2)过椭圆C的右焦点F作直线l交椭圆C于A、B两点,交y轴于M点,若,,求证:λ1+λ2为定值. |
9. 难度:中等 | |
椭圆有两顶点A(-1,0)、B(1,0),过其焦点F(0,1)的直线l与椭圆交于C、D两点,并与x轴交于点P.直线AC与直线BD交于点Q. (Ⅰ)当|CD|=时,求直线l的方程; (Ⅱ)当点P异于A、B两点时,求证:为定值. |
10. 难度:中等 | |
如图,椭圆C:,A1、A2为椭圆C的左、右顶点. (Ⅰ)设F1为椭圆C的左焦点,证明:当且仅当椭圆C上的点P在椭圆的左、右顶点时|PF1|取得最小值与最大值; (Ⅱ)若椭圆C上的点到焦点距离的最大值为3,最小值为1.求椭圆C的标准方程; (Ⅲ)若直线l:y=kx+m与(Ⅱ)中所述椭圆C相交于A,B两点(A,B不是左右顶点),且满足AA2⊥BA2,求证:直线l过定点,并求出该定点的坐标. |
11. 难度:中等 | |
在平面直角坐标系xoy中,已知抛物线y2=2px横坐标为4的点到该抛物线的焦点的距离为5. (1)求抛物线的标准方程; (2)设点C是抛物线上的动点,若以C为圆心的圆在y轴上截得的弦长为4,求证:圆C过定点. |
12. 难度:中等 | |
在四边形ABCD中,已知A(0,0),D(0,4),点B在x轴上,BC∥AD,且对角线AC⊥BD. (Ⅰ)求点C的轨迹方程; (Ⅱ)若点P是直线y=2x-5上任意一点,过点P作点C的轨迹的两切线PE、PF,E、F为切点,M为EF的中点.求证:PM⊥x轴; (Ⅲ)在(Ⅱ)的条件下,直线EF是否恒过一定点?若是,请求出这个定点的坐标;若不是,请说明理由. |