2013年高考数学压轴小题训练：函数与导数（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

设f（x）是定义在R上的奇函数，且f（2）=0，当x＞0时，有恒成立，则不等式x²f（x）＞0的解集是（ ）
A．（-2，0）∪（2，+∞）
B．（-2，0）∪（0，2）
C．（-∞，-2）∪（2，+∞）
D．（-∞，-2）∪（0，2）

2. 难度：中等

已知函数f（x）满足：f（1）=，f（x+y）+f（x-y）=2f（x）f（y）（x，y∈R），则f（i）=（ ）
A．-1
B．0
C．
D．1

3. 难度：中等

已知函数f（x）满足f（1）=a，且，若对任意的n∈N^*总有f（n+3）=f（n）成立，则a在（0，1]内的可能值有 （ ）
A．1个
B．2个
C．3个
D．4个

4. 难度：中等

定义在R上的函数y=f（x），满足f（4-x）=f（x），（x-2）f′（x）＜0，若x₁＜x₂，且x₁+x₂＞4，则有（ ）
A．f（x₁）＜f（x₂）
B．f（x₁）＞f（x₂）
C．f（x₁）=f（x₂）
D．不确定

5. 难度：中等

已知函数f（x）满足对任意的x，y∈R，都有f（x+y）=f（x）+f（y）且在区间[3，7]上是增函数，在区间[4，6]上的最大值为1007，最小值为-2，则2f（-6）+f（-4）=（ ）
A．-2012
B．-2011
C．-2010
D．2010

6. 难度：中等

函数f（x）在定义域R内可导，若f（x）=f（2-x），且当x∈（-∞，1）时，（x-1）•f′（x）＜0，a=f（0），b=f（），c=f（3），则（ ）
A．a＜b＜c
B．c＜b＜a
C．c＜a＜b
D．b＜c＜a

7. 难度：中等

已知定义域为R的函数y=f（x）满足f（-x）=-f（x+4），当x＞2时，f（x）单调递增，若x₁+x₂＜4且（x₁-2）（x₂-2）＜0，则f（x₁）+f（x₂）的值（ ）
A．恒大于0
B．恒小于0
C．可能等于0
D．可正可负

二、填空题

8. 难度：中等

已知函数f（x）满足：，4f（x）f（y）=f（x+y）+f（x-y）（x，y∈R），则f（2010）=    ．

9. 难度：中等

设f（x）是R上的奇函数，且f（-1）=0，当x＞0时，（x²+1）f′（x）-2xf（x）＜0，则不等式f（x）＞0的解集为    ．

10. 难度：中等

已知定义在R上的函数f（x）的图象关于点成中心对称，对任意实数x都有，且f（-1）=1，
f（0）=-2，则f（0）+f（1）+…+f（2010）=    ．