2013年高考数学压轴大题训练：数列与不等式（解析版）

一、解答题

1. 难度：中等

已知等差数列{a_n}的前n项和为S_n，公差d≠0，a₁=1，且a₁，a₂，a₇成等比数列．
（1）求数列{a_n}的前n项和S_n；
（2）设b_n=，数列{b_n}的前n项和为T_n，求证：2T_n-9b_n-1+18＞（n＞1）．

2. 难度：中等

已知等比数列{a_n}，公比为q（0＜q＜1），，．
（Ⅰ）求{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）当，求证：．

3. 难度：中等

已知数列{a_n}是等比数列，a₁=2，a₃=18．数列{b_n}是等差数列，b₁=2，b₁+b₂+b₃+b₄=a₁+a₂+a₃＞20．
（1）求数列{a_n}，{b_n}的通项公式；
（2）设P_n=b₁+b₄+b₇+…+b_3n-2，Q_n=b₁₀+b₁₂+b₁₄+…+b_2n+8，其中n=1，2，3，…．试比较P_n与Q_n的大小，并证明你的结论．

4. 难度：中等

已知函数是增函数．
（I）求实数p的取值范围；
（II）设数列{a_n}的通项公式为，前n项和为S，求证：S_n≥2ln（n+1）．

5. 难度：中等

设实数数列{a_n}的前n项和S_n满足S_n+1=a_n+1S_n（n∈N^*）．
（Ⅰ）若a₁，S₂，-2a₂成等比数列，求S₂和a₃．
（Ⅱ）求证：对k≥3有0≤a_k≤．

6. 难度：中等

设b＞0，数列{a_n}满足a₁=b，a_n=（n≥2）．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）证明：对于一切正整数n，a_n≤+1．

7. 难度：中等

（Ⅰ）已知函数f（x）=lnx-x+1，x∈（0，+∞），求函数f（x）的最大值；
（Ⅱ）设a₁，b₁（k=1，2…，n）均为正数，证明：
（1）若a₁b₁+a₂b₂+…a_nb_n≤b₁+b₂+…b_n，则…≤1；
（2）若b₁+b₂+…b_n=1，则≤…≤b₁²+b₂²+…+b_n²．