2013年高考数学压轴大题训练：数列与函数的交汇（解析版）

一、解答题

1. 难度：中等

已知函数f（x）=x²+m，其中m∈R．定义数列{a_n}如下：a₁=0，a_n+1=f（a_n），n∈N^*．
（1）当m=1时，求a₂，a₃，a₄的值；
（2）是否存在实数m，使a₂，a₃，a₄构成公差不为0的等差数列？若存在，请求出实数m的值，若不存在，请说明理由；
（3）求证：当时，总能找到k∈N，使得a_k大于2010．

2. 难度：中等

已知各项均为正数的数列{a_n}的前n项和为S_n，函数f（x）=一（p+q）x+qlnx（其中p，q均为常数，且p＞q＞0），当x=a₁时，函数f（x）取得极小值，点（a_n，2S_n）（n∈N*）均在函数y=2px²-+f'（x）+q的图象上．（其中f'（x）是函数f（x）的导函数）
（1）求a₁的值；
（2）求数列{a_n}的通项公式；
（3）记b_n=，求数列{b_n}的前n项和T_n．

3. 难度：中等

已知数列{a_n}的前n项和为S_n，对一切正整数n，点P_n（n，S_n）都在函数f（x）=x²+2x的图象上，且过点P_n（n，S_n）的切线的斜率为k_n．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）设Q={x|x=k_n，n∈N*}，R={x|x=2a，n∈N*}，等差数列{c_n}的任一项c_n∈Q∩R，其中c₁是Q∩R中的最小数，110＜c₁₀＜115，求{c_n}的通项公式．

4. 难度：中等

设曲线C_n：f（x）=xⁿ⁺¹（n∈N^*）在点处的切线与y轴交于点Q_n（0，y_n）．
（Ⅰ）求数列{y_n}的通项公式；
（Ⅱ）设数列{y_n}的前n项和为S_n，猜测S_n的最大值并证明你的结论．

5. 难度：中等

已知{a_n}是正数组成的数列，a₁=1，且点（）（n∈N*）在函数y=x²+1的图象上．
（Ⅰ）求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）若列数{b_n}满足b₁=1，b_n+1=b_n+，求证：b_n•b_n+2＜b²_n+1．

6. 难度：中等

已知数列{a_n}满足：a₁=2t，t²-2ta_n-1+a_n-1a_n=0，n=2，3，4，…，（其中t为常数且t≠0）．
（1）求证：数列为等差数列；
（2）求数列{a_n}的通项公式；
（3）设，求数列{b_n}的前n项和为S_n．

7. 难度：中等

已知等差数列{a_n}的公差大于0，且a₂，a₅是方程x²-12x+27=0的两根，数列{b_n}的前n项和为S_n，且S_n=（n∈N^*）．
（1）求数列{a_n}，{b_n}的通项公式；
（2）若c_n=a_n•b_n，设数列{c_n}的前n项和为T_n，证明：T_n＜1．