1. 难度:中等 | |
已知函数f(x)=x3+bx2+cx在x=α与x=β处有两个不同的极值点,设x在点(-1,f(-1))处的切线为l1,其斜率为k1;在点(1,f(1))处的切线为l2,其斜率为k2. (1)若l1⊥l2,|α-β|=,求b,c的值; (2)若α,β∈(-1,1),求k1k2可能取到的最大整数值. |
2. 难度:中等 | |
已知函数f(x)=ax++c(a>0)的图象在点(1,f(1))处的切线方程为y=x-1. (1)试用a表示出b,c; (2)若f(x)≥lnx在[1,+∞)上恒成立,求a的取值范围; (3)证明:1+++…+>ln(n+1)+(n≥1). |
3. 难度:中等 | |
已知函数(). (Ⅰ)当曲线y=f(x)在(1,f(1))处的切线与直线l:y=-2x+1平行时,求a的值; (Ⅱ)求函数f(x)的单调区间. |
4. 难度:中等 | |
已知函数f(x)=x3-x. (1)设M(λ,f(λ))是函数f(x)图象上的-点,求点M处的切线方程; (2)证明:过点N(2,1)可以作曲线,f(x)=x3-x的三条切线. |
5. 难度:中等 | |
设函数f(x)=x3+2ax2+bx+a,g(x)=x2-3x+2,其中x∈R,a、b为常数,已知曲线y=f(x)与y=g(x)在点(2,0)处有相同的切线l. (I) 求a、b的值,并写出切线l的方程; (II)若方程f(x)+g(x)=mx有三个互不相同的实根0、x1、x2,其中x1<x2,且对任意的x∈[x1,x2],f(x)+g(x)<m(x-1)恒成立,求实数m的取值范围. |
6. 难度:中等 | |
已知函数f(x)=4x3+3tx2-6t2x+t-1,x∈R,其中t∈R. (Ⅰ)当t=1时,求曲线y=f(x)在点(0,f(0))处的切线方程; (Ⅱ)当t≠0时,求f(x)的单调区间; (Ⅲ)证明:对任意的t∈(0,+∞),f(x)在区间(0,1)内均存在零点. |
7. 难度:中等 | |
已知函数在x=1处取得极值2. (1)求函数f(x)的表达式; (2)当m满足什么条件时,函数f(x)在区间(m,2m+1)上单调递增? (3)若P(x,y)为图象上任意一点,直线l与的图象切于点P,求直线l的斜率k的取值范围. |
8. 难度:中等 | |
已知定义在正实数集上的函数f(x)=x2+2ax,g(x)=3a2lnx+b,其中a>0.设两曲线y=f(x),y=g(x)有公共点,且在公共点处的切线相同. (1)若a=1,求b的值; (2)用a表示b,并求b的最大值. |