1. 难度:中等 | |
在平面直角坐标系xOy中,已知椭圆C:的离心率,且椭圆C上的点到点Q(0,2)的距离的最大值为3. (1)求椭圆C的方程; (2)在椭圆C上,是否存在点M(m,n),使得直线l:mx+ny=1与圆O:x2+y2=1相交于不同的两点A、B,且△OAB的面积最大?若存在,求出点M的坐标及对应的△OAB的面积;若不存在,请说明理由. |
2. 难度:中等 | |
已知定点A(-1,0),F(2,0),定直线l:x=,不在x轴上的动点P与点F的距离是它到直线l的距离的2倍.设点P的轨迹为E,过点F的直线交E于B、C两点,直线AB、AC分别交l于点M、N. (Ⅰ)求E的方程; (Ⅱ)试判断以线段MN为直径的圆是否过点F,并说明理由. |
3. 难度:中等 | |
如图,F是椭圆的右焦点,以F为圆心的圆过原点O和椭圆的右顶点,设P是椭圆的动点,P到两焦点距离之和等于 (Ⅰ)求椭圆和圆的标准方程; (Ⅱ)设直线l的方程为x=4,PM⊥l,垂足为M,是否存在点P,使得△FPM为等腰三角形?若存在,求出点P的坐标;若不存在,说明理由. |
4. 难度:中等 | |
如图所示,设抛物线C1:y2=4mx(m>0)的焦点为F2,且其准线与x轴交于F1,以F1,F2为焦点,离心率e=的椭圆C2与抛物线C1在x轴上方的一个交点为P. (1)当m=1时,求椭圆C2的方程; (2)是否存在实数m,使得△PF1F2的三条边的边长是连续的自然数,若存在,求出这样的实数m;若不存在,请说明理由. |
5. 难度:中等 | |
如图,椭圆长轴端点为A,B,O为椭圆中心,F为椭圆的右焦点,且,. (1)求椭圆的标准方程; (2)记椭圆的上顶点为M,直线l交椭圆于P,Q两点,问:是否存在直线l,使点F恰为△PQM的垂心?若存在,求出直线l的方程;若不存在,请说明理由. |
6. 难度:中等 | |
已知P、Q、M、N四点都在中心为坐标原点,离心率为,左焦点为F(-1,0)的椭圆C上,已知与共线,与共线,=0. (1)求椭圆C的方程; (2)试用直线PQ的斜率k(k≠0)表示四边形PMQN的面积S,求S的最小值. |
7. 难度:中等 | |
已知点P是⊙O:x2+y2=9上的任意一点,过P作PD垂直x轴于D,动点Q满足. (1)求动点Q的轨迹方程; (2)已知点E(1,1),在动点Q的轨迹上是否存在两个不重合的两点M、N,使(O是坐标原点),若存在,求出直线MN的方程,若不存在,请说明理由. |
8. 难度:中等 | |
已知一条曲线C在y轴右边,C上每一点到点F(1,0)的距离减去它到y轴距离的差都是1. (Ⅰ)求曲线C的方程 (Ⅱ)是否存在正数m,对于过点M(m,0)且与曲线C有两个交点A,B的任一直线,都有<0?若存在,求出m的取值范围;若不存在,请说明理由. |
9. 难度:中等 | |
如图,椭圆=1(a>b>0)的一个焦点在直线l:x=1上,离心率e=.设P,Q为椭圆上不同的两点,且弦PQ的中点T在直线l上,点R(,0). (1)求椭圆的方程; (2)试证:对于所有满足条件的P,Q,恒有|RP|=|RQ|; (3)试判断△PQR能否为等边三角形?证明你的结论. |
10. 难度:中等 | |
已知抛物线y2=4x,过点M(0,2)的直线l与抛物线交于A,B两点,且直线l与x轴交于点C. (1)若以A,B为直径的圆经过坐标原点,求此时的直线l的方程; (2)求证:|MA|,|MC|,|MB|成等比数列; (3)设=,=,试问α+β是否为定值,若是,求出此定值;若不是,请说明理由. |
11. 难度:中等 | |
已知动圆C过点A(-2,0),且与圆M:(x-2)2+y2=64相内切 (1)求动圆C的圆心的轨迹方程; (2)设直线l:y=kx+m(其中k,m∈Z)与(1)所求轨迹交于不同两点B,D,与双曲线交于不同两点E,F,问是否存在直线l,使得向量,若存在,指出这样的直线有多少条?若不存在,请说明理由. |