2013年上海市闵行区高考数学一模试卷（理科）（解析版）

一、填空题

1. 难度：中等

已知复数z满足（1+i）z=4i（i为虚数单位），则z=    ．

2. 难度：中等

函数f（x）=log₂（1-x²）的定义域为     ．

3. 难度：中等

已知集合A={a，b，c，d，e}，B={c，d，e，f}，全集U=A∪B，则集合C_U（A∩B）中元素的个数为    ．

4. 难度：中等

已知抛物线y²=4x的焦点与圆x²+y²+mx-4=0的圆心重合，则m的值是    ．

5. 难度：中等

已知函数y=g（x）的图象与函数y=3^x+1的图象关于直线y=x对称，则g（10）的值为    ．

6. 难度：中等

若二项式展开式的各项系数的和为64，则其展开式的所有二项式系数中最大的是    ．（用数字作答）

7. 难度：中等

无穷等比数列{a_n}的各项和为3，第2项为，则该数列的公比q=    ．

8. 难度：中等

某算法的程序框图如右图，若输出的S的值为62，则正整数n的值为    ．

9. 难度：中等

从集合{1，2，3，4，5}中随机选取3个不同的数，这3个数可以构成等差数列的概率为    ．

10. 难度：中等

已知定义在上的函数y=2（sinx+1）与的图象的交点为P，过P作PP₁⊥x轴于P₁，直线PP₁与y=tanx的图象交于点P₂，则线段P₁P₂的长为    ．

11. 难度：中等

已知不等式|2x-a|＞x-1对任意x∈[0，2]恒成立，则实数a的取值范围是    ．

12. 难度：中等

已知△ABC的面积为1，在△ABC所在的平面内有两点P、Q，满足，则四边形BCPQ的面积为    ．

13. 难度：中等

如图，对大于或等于2的正整数m的n次幂进行如下方式的“分裂”（其中m、n∈N^*）：例如7²的“分裂”中最小的数是1，最大的数是13；若m³的“分裂”中最小的数是211，则m=    ．

14. 难度：中等

已知函数，关于x的方程f²（x）+a|f（x）|+b=0（a，b∈R）恰有6个不同实数解，则a的取值范围是    ．

二、选择题

15. 难度：中等

已知E，F，G，H是空间四点，命题甲：E，F，G，H四点不共面，命题乙：直线EF和GH不相交，则甲是乙成立的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件

16. 难度：中等

若向量满足，与的夹角为60°，则=（ ）
A．
B．
C．2
D．

17. 难度：中等

已知函数f（x）=|arctan（x-1）|，若存在x₁，x₂∈[a，b]，且x₁＜x₂，使f（x₁）≥f（x₂）成立，则以下对实数a、b的描述正确的是（ ）
A．a＜1
B．a≥1
C．b≤1
D．b≥1

18. 难度：中等

数列{a_n}满足a₁=a₂=1，，若数列{a_n}的前n项和为S_n，则S₂₀₁₃的值为（ ）
A．2013
B．671
C．-671
D．

三、解答题

19. 难度：中等

已知函数；
（1）求函数f（x）的最小正周期；
（2）求函数，的值域．

20. 难度：中等

科学研究表明：一般情况下，在一节40分钟的课中，学生的注意力随教师讲课的时间变化而变化．开始上课时，学生的注意力逐步增强，随后学生的注意力开始分散．经过实验分析，得出学生的注意力指数y随时间x（分钟）的变化规律为：
（1）如果学生的注意力指数不低于80，称为“理想听课状态”，则在一节40分钟的课中学生处于“理想听课状态”所持续的时间有多长？（精确到1分钟）
（2）现有一道数学压轴题，教师必须持续讲解24分钟，为了使效果更好，要求学生的注意力指数在这24分钟内的最低值达到最大，那么，教师上课后从第几分钟开始讲解这道题？（精确到1分钟）

21. 难度：中等

已知椭圆E的方程为，右焦点为F，直线l与圆x²+y²=3相切于点Q，且Q在y轴的右侧，设直线l交椭圆E于不同两点A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）．
（1）若直线l的倾斜角为，求直线l的方程；
（2）求证：|AF|+|AQ|=|BF|+|BQ|．

22. 难度：中等

已知函数．
（1）求函数f（x）的定义域D，并判断f（x）的奇偶性；
（2）如果当x∈（t，a）时，f（x）的值域是（-∞，1），求a与t的值；
（3）对任意的x₁，x₂∈D，是否存在x₃∈D，使得f（x₁）+f（x₂）=f（x₃），若存在，求出x₃；若不存在，请说明理由．

23. 难度：中等

设数列{a_n}的各项均为正数，前n项和为S_n，已知．
（1）证明数列{a_n}是等差数列，并求其通项公式；
（2）证明：对任意m、k、p∈N^*，m+p=2k，都有；
（3）对于（2）中的命题，对一般的各项均为正数的等差数列还成立吗？如果成立，请证明你的结论，如果不成立，请说明理由．