2013年贵州省贵阳市高考数学二模试卷（理科）（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

已知集合A={x∈R|x²≤4}，B={x∈N|≤3}，则A∩B（ ）
A．（0，2]
B．[0，2]
C．{1，2}
D．{0，1，2}

2. 难度：中等

已知i是虚数单位，m和n都是实数，且m（1+i）=5+ni，则=（ ）
A．i
B．-i
C．1
D．-1

3. 难度：中等

在边长为3的正方形ABCD内任取一点P，则P到正方形四边的距离均不小于1的概率为（ ）
A．
B．
C．
D．

4. 难度：中等

若x∈﹙10^-1，1﹚，a=lgx，b=2lgx．c=lg³x．则（ ）
A．a＜b＜c
B．c＜a＜b
C．b＜a＜c
D．b＜c＜a

5. 难度：中等

已知命题p₁：函数y=2^x-2^-x在R为增函数，p₂：函数y=2^x+2^-x在R为减函数，则在命题q₁：p₁∨p₂，q₂：p₁∧p₂，q₃：（￢p₁）和q₄：p₁∧（￢p₂）中，真命题是（ ）
A．q₁，q₃
B．q₂，q₃
C．q₁，q₄
D．q₂，q₄

6. 难度：中等

定积分 dx的值等于（ ）
A．e²-1
B．（e²-1）
C．e²
D．e²

7. 难度：中等

已知函数f（x）=Asin（ωx+φ） （A＞0，ω＞0，0＜φ＜π），其导函数f'（x）的部分图象如图所示，则函数f（x）的解析式为（ ）

A．f（x）=4sin（x+π）
B．f（x）=4sin（x+）
C．f（x）=4sin（x+）
D．f（x）=4sin（x+）

8. 难度：中等

已知曲线及两点A₁（x₁，0）和A₂（x₂，0），其中x₂＞x₁＞0．过A₁，A₂分别作x轴的垂线，交曲线C于B₁，B₂两点，直线B₁B₂与x轴交于点A₃（x₃，0），那么（ ）
A．成等差数列
B．成等比数列
C．x₁，x₃，x₂成等差数列
D．x₁，x₃，x₂成等比数列

9. 难度：中等

设偶函数f（x）满足f（x）=2^x-4（x≥0），则{x|f（x-2）＞0}=（ ）
A．{x|x＜-2或x＞4}
B．{x|x＜0或x＞4}
C．{x|x＜0或x＞6}
D．{x|x＜-2或x＞2}

10. 难度：中等

若tanα=，α是第三象限的角，则=（ ）
A．-
B．
C．2
D．-2

11. 难度：中等

已知半径为1的球，若以其一条半径为正方体的一条棱作正方体，则此正方体内部的球面面积为（ ）
A．
B．
C．
D．

12. 难度：中等

已知点P是双曲线C：-=1上一点，过P作C的两条逐渐近线的垂线，垂足分别为A，B两点，则•等于（ ）
A．
B．-
C．0
D．1

二、填空题

13. 难度：中等

（9^x-3^-x）⁶（x∈R）的二项展开式中的常数项是    ．

14. 难度：中等

一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体的体积是    ．

15. 难度：中等

已知F是抛物线C：y²=4x的焦点，直线l：y=k（x+1）与抛物线C交于A，B两点，记直线FA，FB的斜率分别为k₁，k₂，则k₁+k₂=    ．

16. 难度：中等

设△ABC的内角A，B，C的对边长分别为a，b，c，且c=b+1=a+2，C=2A，则△ABC的面积等于    ．

三、解答题

17. 难度：中等

已知公差不为0的等差数列{a_n}的前n项和为S_n，S₇=70，且a₁，a₂，a₆成等比数列．
（Ⅰ）求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）设b_n=，数列{b_n}的最小项是第几项，并求出该项的值．

18. 难度：中等

如图，在四棱锥E-ABCD中，矩形ABCD所在的平面与平面AEB垂直，且∠BAE=120°，AE=AB=4，AD=2，F，G，H分别为BE，AE，BC的中点
（Ⅰ）求证：DE∥平面FGH；
（Ⅱ）若点P在直线GF上，=λ，且二面角D-BP-A的大小为，求λ的值．

19. 难度：中等

某次大型抽奖活动，分两个环节进行：第一环节从10000人中随机抽取10人，中奖者获得奖金1000元，并获得第二环节抽奖资格；第二环节在取得资格的10人中，每人独立通过电脑随机产生两个数x，y（x，y∈{1，2，3}），并按如图运行相应程序．若电脑显示“中奖”，则该抽奖者获得9000元奖金；若电脑显示“谢谢”，则不中奖．
（I）已知甲在第一环节中奖，求甲在第二环节中奖的概率；
（II）若乙参加了此次抽奖活动，求乙在此次活动中获得奖金的期望．

20. 难度：中等

设椭圆C：+=1（a＞b＞0）过点M（1，1），离心率e=，O为坐标原点．
（I）求椭圆C的方程．
（Ⅱ）若直线l是圆O：x²+y²=1的任意一条切线，且直线l与椭圆C相交于A，B两点，求证：•为定值．

21. 难度：中等

已知函数f（x）=（bx+c）lnx在x=处取得极值，且在x=1处的切线的斜率为1．
（Ⅰ）求b，c的值及f（x）的单调减区间；
（Ⅱ）设p＞0，q＞0，g（x）=f（x）+x²，求证：5g（）≤3g（p）+2g（q）．

22. 难度：中等

如图，直线AB经过⊙O上的点C，并且OA=OB，CA=CB，⊙O交直线OB于E、D，连接EC、CD．
（1）求证：直线AB是⊙O的切线；
（2）若tan∠CED=，⊙O的半径为3，求OA的长．

23. 难度：中等

选修4-4：坐标系与参数方程
 在极坐标系下，已知圆O：ρ=cosθ+sinθ和直线l：ρsin（θ-）=，
（I）以极点为坐标原点，极轴为x轴的正半轴建立平面直角坐标系．求圆O和直线l的直角坐标方程；
（II）当θ∈（0，π）时，求直线l与圆O公共点的一个极坐标．

24. 难度：中等

选修4-5：不等式选讲
已知函数f（x）=|x-2|-|x-5|．
（1）证明：-3≤f（x）≤3；
（2）求不等式f（x）≥x²-8x+15的解集．