2013年河北省衡水中学高考数学一模试卷（理科）（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

如图所示的韦恩图中，A、B是非空集合，定义A*B表示阴影部分集合．若x，y∈R，，B={y|y=3^x，x＞0}，则A*B=（ ）

A．（2，+∞）
B．[0，1）∪（2，+∞）
C．[0，1]∪（2，+∞）
D．[0，1]∪[2，+∞）

2. 难度：中等

如图，在△ABC中，，P是BN上的一点，若，则实数m的值为（ ）
A．
B．
C．1
D．3

3. 难度：中等

设x，y满足约束条件，则取值范围是（ ）
A．[1，5]
B．[2，6]
C．[3，10]
D．[3，11]

4. 难度：中等

定义在R上的可导函数f（x），已知y=e^f'（x）的图象如图所示，则y=f（x）的增区间是（ ）

A．（-∞，1）
B．（-∞，2）
C．（0，1）
D．（1，2）

5. 难度：中等

如图，过抛物线y²=4x焦点的直线依次交抛物线与圆（x-1）²+y²=1于A，B，C，D，则|AB|•|CD|=（ ）
A．4
B．2
C．1
D．

6. 难度：中等

如图是一几何体的三视图，正视图是一等腰直角三角形，且斜边BD长为2；侧视图一直角三角形；俯视图为一直角梯形，且AB=BC=1，则异面直线PB与CD所成角的正切值是（ ）

A．1
B．
C．
D．

7. 难度：中等

已知的左、右焦点，A是椭圆上位于第一象限内的一点，点B也在椭圆 上，且满足（O为坐标原点），，若椭圆的离心率等于，则直线AB的方程是  （ ）
A．
B．
C．
D．

8. 难度：中等

函数f（x）=-2x²+7x-6与函数g（x）=-x的图象所围成的封闭图形的面积为（ ）
A．
B．2
C．
D．3

9. 难度：中等

已知F₁，F₂分别为双曲线的左右焦点，P为双曲线上除顶点外的任意一点，且△F₁PF₂的内切圆交实轴于点M，则|F₁M|•|MF₂|的值为（ ）
A．b²
B．a²
C．c²
D．

10. 难度：中等

已知正方形AP₁P₂P₃的边长为4，点B，C分别是边P₁P₂，P₂P₃的中点，沿AB，BC，CA折叠成一个三棱锥P-ABC（使P₁，P₂，P₃重合于P），则三棱锥P-ABC的外接球表面积为（ ）
A．24π
B．12π
C．8π
D．4π

11. 难度：中等

已知f（x）是偶函数，x∈R，若将f（x）的图象向右平移一个单位又得到一个奇函数，又f（2）=-1，则f（1）+f（2）+f（3）+…+f（2011）=（ ）
A．-1003
B．1003
C．1
D．-1

12. 难度：中等

设函数f（x）=x|x|+bx+c，给出以下四个命题：
①当c=0时，有f（-x）=-f（x）成立；
②当b=0，c＞0时，方程f（x）=0，只有一个实数根；
③函数y=f（x）的图象关于点（0，c）对称 
④当x＞0时；函数f（x）=x|x|+bx+c，f（x）有最小值是．
其中正确的命题的序号是（ ）
A．①②④
B．①③④
C．②③④
D．①②③

二、填空题

13. 难度：中等

已知定义在（-1，+∞）上的函数，若f（3-a²）＞f（2a），则实数a取值范围为    ．

14. 难度：中等

椭圆（a＞b＞0）且满足a≤，若离心率为e，则e²+的最小值为    ．

15. 难度：中等

设函数f（x）=2sin（x+）．若对任意x∈R，都有f（x₁）≤f（x）≤f（x₂）成立，则|x₁-x₂|的最小值为     ．

16. 难度：中等

设，对X_n的任意非空子集A，定义f（A）为A中的最大元素，当A取遍X_n的所有非空子集时，对应的f（A）的和为S，则S₂=    ，S_n=    ．

三、解答题

17. 难度：中等

在△ABC中，内角A、B、C所对边的长分别为a、b、c，已知向量=（1，cosA-1），=（cosA，1）且满足⊥．
（Ⅰ）求A的大小；
（Ⅱ）若a=，b+c=3 求b、c的值．

18. 难度：中等

如图，在三棱锥V-ABC中，VC⊥底面ABC，AC⊥BC，D是AB的中点，且AC=BC=a，∠VDC=θ．
（1）求证：平面VAB⊥平面VCD；
（2）当角θ变化时，求直线BC与平面VAB所成的角的取值范围．

19. 难度：中等

某厂生产某种产品的年固定成本为250万元，每生产x千件，需另投入成本为C（x），当年产量不足80千件时，（万元）；当年产量不小于80千件时，（万元）．现已知此商品每件售价为500元，且该厂年内生产此商品能全部销售完．
（1）写出年利润L（万元）关于年产量x（千件）的函数解析式；
（2）年产量为多少千件时，该厂在这一商品的生产中所获利润最大？

20. 难度：中等

已知直线y=-x+1与椭圆相交于A、B两点．
（1）若椭圆的离心率为，焦距为2，求线段AB的长；
（2）若向量与向量f（s）≥ϕ（t）互相垂直（其中O为坐标原点），当椭圆的离心率时，求椭圆的长轴长的最大值．

21. 难度：中等

已知抛物线C：y²=4x的焦点为F，过点K（-1，0）的直线l与C相交于A、B两点，点A关于x轴的对称点为D．
（Ⅰ）证明：点F在直线BD上；
（Ⅱ）设，求△BDK的内切圆M的方程．

22. 难度：中等

已知函数f（x）=ax-1-lnx（a∈R）．
（1）若函数f（x）在x=1处取得极值，对∀x∈（0，+∞），f（x）≥bx-2恒成立，求实数b的取值范围；
（2）当0＜x＜y＜e²且x≠e时，试比较与的大小．