2012年陕西省西安市西工大附中高考数学六模试卷（理科）（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

i是虚数单位，复数=（ ）
A．i
B．-i
C．-1+i
D．1-2i

2. 难度：中等

设，是单位向量，则“•=1”是“=”的（ ）
A．充分而不必要条件
B．必要而不充分条件
C．充分必要条件
D．既不充分也不必要条件

3. 难度：中等

执行如图所示的程序框图，输出的M的值为（ ）

A．17
B．53
C．161
D．485

4. 难度：中等

抛物线的顶点在坐标原点，焦点与双曲线的一个焦点重合，则该抛物线的标准方程可能是（ ）
A．x²=4y
B．x²=-4y
C．y²=-12
D．x²=-12y

5. 难度：中等

已知平面α，β，直线l，若α⊥β，α∩β=l，则（ ）
A．垂直于平面β的平面一定平行于平面α
B．垂直于直线l的直线一定垂直于平面α
C．垂直于平面β的平面一定平行于直线l
D．垂直于直线l的平面一定与平面α，β都垂直

6. 难度：中等

已知函数的图象与x轴的两个相邻交点的距离等于，若将函数y=f（x）的图象向左平移个单位长度得到函数y=g（x）的图象，则y=g（x）的解析式是（ ）
A．
B．y=2sin2
C．
D．y=2sin4

7. 难度：中等

如图是一个空间几何体的三视图，则该几何体的表面积是（ ）

A．12+π
B．16+π
C．12+2π
D．16+2π

8. 难度：中等

设函数f（x）是定义在R上的奇函数，且对任意x∈R都有f（x）=f（x+4），当x∈（0，2）时，f（x）=2^x，则f（2012）-f（2011）的值为（ ）
A．2
B．-2
C．
D．

9. 难度：中等

已知：x∈（0，+∞），观察下列式子：类比有，则a的值为（ ）
A．nⁿ
B．n
C．n²
D．n+1

10. 难度：中等

某五所大学进行自主招生，同时向一所重点中学的五位学习成绩优秀，并在某些方面有特长的学生发出提前录取通知单．若这五名学生都乐意进这五所大学中的任意一所就读，则仅有两名学生录取到同一所大学（其余三人在其他学校各选一所不同大学）的概率是（ ）
A．
B．
C．
D．

二、填空题

11. 难度：中等

已知a＞0，b＞0，且满足a+b=3，则的最小值为    ．

12. 难度：中等

设函数，其中，则f（x）的展开式中x⁴的系数为    ．

13. 难度：中等

已知O是坐标原点，点A（-1，1）．若点M（x，y）为平面区域上的一个动点，则的取值范围是    ．

14. 难度：中等

已知函数若函数g（x）=f（x）-m有3个零点，则实数m的取值范围是    ．

15. 难度：中等

A．（不等式选做题）不等式|x-1|+|x+2|＜a的解集不是空集，则实数a的取值范围为    ．
B．（几何证明选做题）如图，割线PBC经过圆心O，OB=PB=1，OB绕点O逆时针旋转120°到OD，连PD交圆O于点E，则PE=    ．
C．（极坐标系与参数方程选做题）在极坐标系中，已知曲线p=2cosθ与直线3ρcosθ+4ρsinθ+a=0相切，则实数a的值为    ．

三、解答题

16. 难度：中等

已知函数．
（Ⅰ）若，求f（x）的最大值及取得最大值时相应的x的值；
（Ⅱ）在△ABC中，a、b、c分别为角A、B、C的对边，若，b=l，c=4，求a的值．

17. 难度：中等

第30届奥运会将于2012年7月27日在伦敦举行，当地某学校招募了8名男志愿者和12名女志愿者．将这20名志愿者的身高如下茎叶图（单位：cm）：
若身高在180cm以上（包括180cm）定义为“高个子”，身高在180cm以下（不包括180cm）定义为“非高个子”，且只有“女高个子”才能担任“礼仪小姐”．
（Ⅰ）用分层抽样的方法从“高个子”和“非高个子”中抽取5人，如果从这5人中随机选2人，那么至少有1人是“高个子”的概率是多少？
（Ⅱ）若从所有“高个子”中随机选3名志愿者，用X表示所选志愿者中能担任“礼仪小姐”的人数，试写出X的分布列，并求X的数学期望．

18. 难度：中等

已知四棱锥P-ABCD的底面ABCD是边长为2的正方形，PD⊥底面ABCD，E，F分别为棱BC，AD的中点．
（Ⅰ）求证：DE∥平面PFB；
（Ⅱ）已知二面角P-BF-C的余弦值为，求四棱锥P-ABCD的体积．

19. 难度：中等

数列{a_n}各项均为正数，其前n项和为S_n，且满足．
（Ⅰ）求证数列为等差数列，并求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）设，求数列{b_n}的前n项和T_n，并求使对所有的n∈N^*都成立的最大正整数m的值．

20. 难度：中等

已知中心在原点O，焦点在x轴上，离心率为的椭圆过点（，）．
（1）求椭圆的方程；
（2）设不过原点O的直线l与该椭圆交于P，Q两点，满足直线OP，PQ，OQ的斜率依次成等比数列，求△OPQ面积的取值范围．

21. 难度：中等

已知函数f（x）=x²+lnx．
（Ⅰ）求函数f（x）在[1，e]上的最大值、最小值；
（Ⅱ）求证：在区间[1，+∞）上，函数f（x）的图象在函数g（x）=x³图象的下方；
（Ⅲ）求证：[f′（x）]ⁿ-f′（xⁿ）≥2ⁿ-2（n∈N^*）．