2009年山东省莱芜二中高考数学二模试卷（理科）（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

在复平面内，复数对应的点位于（ ）
A．第一象限
B．第二象限
C．第三象限
D．第四象限

2. 难度：中等

在等差数列{a_n}中，若前5项和S₅=20，则a₃等于（ ）
A．4
B．-4
C．2
D．-2

3. 难度：中等

若直线x-y=2被圆（x-a）²+y²=4所截得的弦长为，则实数a的值为（ ）
A．-1或
B．1或3
C．-2或6
D．0或4

4. 难度：中等

在空间中有如下命题：
①互相平行的两条直线在同一平面内的射影必然是互相平行的两条直线；
②若平面α∥平面β，则平面α内任意一条直线m∥平面β
③若平面α与平面β的交线为m，平面α内一条直线n⊥直线m，则直线n⊥平面β
④若点P到三角形的三个顶点距离相等，则点P的该三角形所在平面的射影是该三角形的外心
其中正确的命题个数是（ ）
A．1
B．2
C．3
D．4

5. 难度：中等

从2008名学生中选取50名学生参加数学竞赛，若采用下面的方法选取：先用简单随机抽样从2008人中剔除8人，剩下的2000人再按系统抽样的方法抽取50人，则在2008人中，每人入选的概率（ ）
A．不全相等
B．均不相等
C．都相等，且为
D．都相等，且为

6. 难度：中等

已知，是不共线的向量，=λ+，=+μ（λ、μ∈R），那么A、B、C三点共线的充要条件为（ ）
A．λ+μ=2
B．λ-μ=1
C．λμ=-1
D．λμ=1

7. 难度：中等

已知函数f（x）满足f（x）=f（π-x），且当x∈（-，）时，f（x）=x+sinx，则（ ）
A．f（1）＜f（2）＜f（3）
B．f（2）＜f（3）＜f（1）
C．f（3）＜f（2）＜f（1）
D．f（3）＜f（1）＜f（2）

8. 难度：中等

在平面直角坐标系xoy中，已知△ABC的顶点A（-4，0）和C（4，0），顶点B在椭圆上，则等于（ ）
A．
B．
C．
D．

9. 难度：中等

给出一个如图所示的流程图，若要使输入的x值与输出的y值相等，则这样的x值的个数是（ ）
A．1
B．2
C．3
D．4

10. 难度：中等

定义行列式运算：，将函数向左平移m个单位（m＞0），所得图象对应的函数为偶函数，则m的最小值是（ ）
A．
B．
C．
D．

11. 难度：中等

已知M是△ABC内的一点，且=2，∠BAC=30°，若△MBC，△MCA和△MAB的面积分别为，x，y，则+的最小值是（ ）
A．20
B．18
C．16
D．9

12. 难度：中等

如果消息M发生的概率为P（M），那么消息M所含的信息量为，若小明在一个有4排8列座位的小型报告厅里听报告，则发布的以下4条消费中，信息量最大的是（ ）
A．小明在第4排
B．小明在第5列
C．小明在第4排第5列
D．小明在某一排

二、填空题

13. 难度：中等

抛物线上一点N到其焦点F的距离是3，则点N到直线y=1的距离等于    ．

14. 难度：中等

设x，y满足，则z=3x+y的最大值是    ．

15. 难度：中等

展开式中含x²项的系数是    ．

16. 难度：中等

如图所示是一建筑物的三视图，现需将其外壁用油漆刷一遍，若每平方米用漆0.2kg，则共需油漆大约    kg．（尺寸如图所示，单位：米，π取3）

三、解答题

17. 难度：中等

已知空间向量=（sinα，-1，cosα），=（1，2cosα，1），•=
（1）求sin2α及sinα，cosα的值；
（2）设函数f（x）=5cos（2x-a）+cos2x（x∈R），求f（x）的最小正周期及f（x）取得最大值时x的值．

18. 难度：中等

如图，P-ABCD是正四棱锥，ABCD-A₁B₁C₁D₁是正方体，其中AB=2，PA=．
（1）求证：PA⊥B₁D₁；
（2）求平面PAD与平面BDD₁B₁所成锐二面角的余弦值．

19. 难度：中等

某研究机构准备举行一次数学新课程研讨会，共邀请50名一线教师参加，使用不同版本教材的教师人数如下表所示：

版本	人教A版	人教B版	苏教版	北师大版
人数	20	15	5	10

（1）从这50名教师中随机选出2名，求2人所使用版本相同的概率；
（2）若随机选出2名使用人教版的教师发言，设使用人教A版的教师人数为ξ，求随机变量ξ的变分布列和数学期望．

20. 难度：中等

已知数列{a_n}，定义其倒均数是．
（1）求数列{a_n}的倒均数是，求数列{a_n}的通项公式a_n；
（2）设等比数列{b_n}的首项为-1，公比为，其倒数均为V_n，若存在正整数k，使n≥k时，V_n＜-16恒成立，试求k的最小值．

21. 难度：中等

椭圆C的中心为坐标原点O，焦点在y轴上，离心率，椭圆上的点到焦点的最短距离为1-e，直线l与y轴交于点P（0，m），与椭圆C交于相异两点A、B，且．
（1）求椭圆C的方程；
（2）若，求m的取值范围．

22. 难度：中等

已知函数f（x）=ln（1+e^x）-x（x∈R）有下列性质：“若x∈[a，b]，则存在x∈（a，b），使得”成立．
（1）利用这个性质证明x唯一；
（2）设A、B、C是函数f（x）图象上三个不同的点，试判断△ABC的形状，并说明理由．