2013年北京市海淀区高考数学二模试卷（理科）（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

集合A={x|（x-1）（x+2）≤0}，B={x|x＜0}，则A∪B=（ ）
A．（-∞，0]
B．（-∞，1]
C．[1，2]
D．[1，+∞）

2. 难度：中等

已知数列{a_n}是公比为q的等比数列，且a₁•a₃=4，a₄=8，则a₁+q的值为（ ）
A．3
B．2
C．3或-2
D．3或-3

3. 难度：中等

如图，在边长为a的正方形内有不规则图形Ω．向正方形内随机撒豆子，若撒在图形Ω内和正方形内的豆子数分别为m，n，则图形Ω面积的估计值为（ ）

A．
B．
C．
D．

4. 难度：中等

某空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（ ）

A．180
B．240
C．276
D．300

5. 难度：中等

在四边形ABCD中，“∃λ∈R，使得AB=λDC，AD=λBC”是“四边形ABCD为平行四边形”的（ ）
A．充分而不必要条件
B．必要而不充分条件
C．充分必要条件
D．既不充分也不必要条件

6. 难度：中等

用数字1，2，3，4，5组成没有重复数字的五位数，且5不排在百位，2，4都不排在个位和万位，则这样的五位数个数为（ ）
A．32
B．36
C．42
D．48

7. 难度：中等

双曲线C的左右焦点分别为F₁，F₂，且F₂恰为抛物线y²=4x的焦点，设双曲线C与该抛物线的一个交点为A，若△AF₁F₂是以AF₁为底边的等腰三角形，则双曲线C的离心率为（ ）
A．
B．1
C．1
D．2

8. 难度：中等

若数列{a_n}满足：存在正整数T，对于任意正整数n都有a_n+T=a_n成立，则称数列{a_n}为周期数列，周期为T．已知数列{a_n}满足a₁=m（m＞0），则下列结论中错误的是（ ）
A．若a₃=4，则m可以取3个不同的值
B．若，则数列{a_n}是周期为3的数列
C．∀T∈N^*且T≥2，存在m＞1，使得{a_n}是周期为T的数列
D．∃m∈Q且m≥2，使得数列{a_n}是周期数列

二、填空题

9. 难度：中等

在极坐标系中，极点到直线ρcosθ=2的距离为    ．

10. 难度：中等

已知，，，则a，b，c按照从大到小排列为    ．

11. 难度：中等

直线l₁过点（-2，0）且倾斜角为30°，直线l₂过点（2，0）且与直线l₁垂直，则直线l₁与直线l₂的交点坐标为    ．

12. 难度：中等

在△ABC中，∠A=30°，∠B=45°，，则b=    ；S_△ABC=    ．

13. 难度：中等

正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁的棱长为1，若动点P在线段BD₁上运动，则的取值范围是    ．

14. 难度：中等

在平面直角坐标系中，动点P（x，y）到两条坐标轴的距离之和等于它到点（1，1）的距离，记点P的轨迹为曲线为W．
（Ⅰ）给出下列三个结论：
①曲线W关于原点对称；
②曲线W关于直线y=x对称；
③曲线W与x轴非负半轴，y轴非负半轴围成的封闭图形的面积小于；
其中，所有正确结论的序号是    ；
（Ⅱ）曲线W上的点到原点距离的最小值为    ．

三、解答题

15. 难度：中等

已知函数．
（Ⅰ）求函数f（x）的定义域；
（Ⅱ）求函数f（x）的单调增区间．

16. 难度：中等

福彩中心发行彩票的目的是为了获取资金资助福利事业，现在福彩中心准备发行一种面值为5元的福利彩票刮刮卡，设计方案如下：（1）该福利彩票中奖率为50%；（2）每张中奖彩票的中奖奖金有5元，50元和150元三种；（3）顾客购买一张彩票获得150元奖金的概率为p，获得50元奖金的概率为2%．
（Ⅰ）假设某顾客一次性花10元购买两张彩票，求其至少有一张彩票中奖的概率；
（Ⅱ）为了能够筹得资金资助福利事业，求p的取值范围．

17. 难度：中等

如图1，在直角梯形ABCD中，∠ABC=∠DAB=90°，∠CAB=30°，BC=2，AD=4．把△DAC沿对角线AC折起到△PAC的位置，如图2所示，使得点P在平面ABC上的正投影H恰好落在线段AC上，连接PB，点E，F分别为线段PA，PB的中点．
（Ⅰ）求证：平面EFH∥平面PBC；
（Ⅱ）求直线HE与平面PHB所成角的正弦值；
（Ⅲ）在棱PA上是否存在一点M，使得M到P，H，A，F四点的距离相等？请说明理由．

18. 难度：中等

已知函数f（x）=e^x，A（a，0）为一定点，直线x=t（t≠0）分别与函数f（x）的图象和x轴交于点M，N，记△AMN的面积为S（t）．
（Ⅰ）当a=0时，求函数S（t）的单调区间；
（Ⅱ）当a＞2时，若∃t∈[0，2]，使得S（t）≥e，求a的取值范围．

19. 难度：中等

已知椭圆的四个顶点恰好是一边长为2，一内角为60°的菱形的四个顶点．
（Ⅰ）求椭圆M的方程；
（Ⅱ）直线l与椭圆M交于A，B两点，且线段AB的垂直平分线经过点，求△AOB（O为原点）面积的最大值．

20. 难度：中等

设A是由m×n个实数组成的m行n列的数表，如果某一行（或某一列）各数之和为负数，则改变该行（或该列）中所有数的符号，称为一次“操作”．
（Ⅰ） 数表A如表1所示，若经过两次“操作”，使得到的数表每行的各数之和与每列的各数之和均为非负实数，请写出每次“操作”后所得的数表（写出一种方法即可）； 

1	2	3	-7
-2	1		1

表1
（Ⅱ） 数表A如表2所示，若必须经过两次“操作”，才可使得到的数表每行的各数之和与每列的各数之和均为非负整数，求整数a的所有可能值；

a	a^2-1	-a	-a^2
2-a	1-a^2	a-2	a^2

表2
（Ⅲ）对由m×n个实数组成的m行n列的任意一个数表A，能否经过有限次“操作”以后，使得到的数表每行的各数之和与每列的各数之和均为非负整数？请说明理由．