2013年江苏省南京市、盐城市高考数学一模试卷（解析版）

一、填空题

1. 难度：中等

已知集合U={-1，0，1，2}，A={-1，1}，则∁_UA=    ．

2. 难度：中等

复数（1-2i）²的共轭复数是    ．

3. 难度：中等

已知某人连续5次投掷飞镖的环数分别是8，9，10，10，8，则该组数据的方差s²    ．

4. 难度：中等

袋中装有2个红球，2个白球，除颜色外其余均相同，现从中任意摸出2个小球，则摸出的两球颜色不同的概率为    ．

5. 难度：中等

在等差数列{a_n}中，若a₃+a₅+a₇=9，则其前9项和S₉的值为    ．

6. 难度：中等

设x，y满足约束条件，则目标函数z=2x+3y的最大值为    ．

7. 难度：中等

如图所示是一算法的伪代码，执行此算法时，输出的结果是    ．

8. 难度：中等

将函数y=sin（2x-）的图象向左平移ϕ（ϕ＞0）个单位后，所得到的图象对应的函数为奇函数，则ϕ的最小值为    ．

9. 难度：中等

现有如下命题：
①过平面外一点有且只有一条直线与该平面垂直；
②过平面外一点有且只有一条直线与该平面平行；
③如果两个平行平面和第三个平面相交，那么所得的两条交线平行；
④如果两个平面相互垂直，那么经过第一个平面内一点且垂直于第二个平面的直线必在第一个平面内．
则所有真命题的序号是    ．

10. 难度：中等

在△ABC中，若9cos2A-4cos2B=5，则的值为    ．

11. 难度：中等

如图，在等腰三角形ABC中，底边BC=2，，=，若=，则=    ．

12. 难度：中等

已知F₁、F₂分别是椭圆的左、右焦点，点P是椭圆上的任意一点，则的取值范围是    ．

二、解答题

13. 难度：中等

已知向量a=（sinωx，cosωx），b=（cosωx，-cosωx），（ω＞0），函数的图象的两相邻对称轴间的距离为．
（1）求ω值；
（2）若时，，求cos4x的值；
（3）若，x∈（0，π），且f（x）=m有且仅有一个实根，求实数m的值．

三、填空题

14. 难度：中等

已知函数f（x）=，若关于x的方程f（x）=kx（k＞0）有且仅有四个根，其最大根为t，则函数g（t）=-6t+7的值域为    ．

四、解答题

15. 难度：中等

在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AB⊥BC，D为棱CC₁上任一点．
（1）求证：直线A₁B₁∥平面ABD；
（2）求证：平面ABD⊥平面BCC₁B₁．

16. 难度：中等

在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c．
（1）若cos（A+）=sinA，求A的值；
（2）若cosA=，4b=c，求sinB的值．

17. 难度：中等

近年来，某企业每年消耗电费约24万元，为了节能减排，决定安装一个可使用15年的太阳能供电设备接入本企业电网，安装这种供电设备的工本费（单位：万元）与太阳能电池板的面积（单位：平方米）成正比，比例系数约为0.5．为了保证正常用电，安装后采用太阳能和电能互补供电的模式．假设在此模式下，安装后该企业每年消耗的电费C（单位：万元）与安装的这种太阳能电池板的面积x（单位：平方米）之间的函数关系是C（x）=（x≥0，k为常数）．记F为该村安装这种太阳能供电设备的费用与该村15年共将消耗的电费之和．
（1）试解释C（0）的实际意义，并建立F关于x的函数关系式；
（2）当x为多少平方米时，F取得最小值？最小值是多少万元？

18. 难度：中等

如图，在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C：=1（a＞b＞0）经过点M（3，），椭圆的离心率e=，F₁、F₂分别是椭圆的左、右焦点．
（1）求椭圆C的方程；
（2）过点M作两直线与椭圆C分别交于相异两点A、B．
①若直线MA过坐标原点O，试求△MAF₂外接圆的方程；
②若∠AMB的平分线与y轴平行，试探究直线AB的斜率是否为定值？若是，请给予证明；若不是，请说明理由．

19. 难度：中等

对于定义在区间D上的函数f（x），若任给x∈D，均有f（x）∈D，则称函数f（x）在区间D上封闭．
（1）试判断f（x）=x-1在区间[-2.1]上是否封闭，并说明理由；
（1）若函数g（x）=在区间[3，10]上封闭，求实数a的取值范围；
（1）若函数h（x）=x³-3x在区间[a，b[（a，b∈Z）上封闭，求a，b的值．

20. 难度：中等

若数列{a_n}是首项为6-12t，公差为6的等差数列；数列{b_n}的前n项和为S_n=3ⁿ-t．
（1）求数列{a_n}和{b_n}的通项公式；
（2）若数列{b_n}是等比数列，试证明：对于任意的n（n∈N，n≥1），均存在正整数C_n，使得b_n+1=a，并求数列{c_n}的前n项和T_n；
（3）设数列{d_n}满足d_n=a_n•b_n，且{d_n}中不存在这样的项d_t，使得“d_k＜d_k-1与d_k＜d_k+1”同时成立（其中k≥2，k∈N^*），试求实数t的取值范围．

21. 难度：中等

[A．（选修4-1：几何证明选讲）
如图，圆O的直径AB=8，C为圆周上一点，BC=4，过C作圆的切线l，过A作直线l的垂线AD，D为垂足，AD与圆O交于点E，求线段AE的长．

五、填空题

22. 难度：中等

B．（选修4-2：矩阵与变换）
    已知矩阵M的一个特征值为3，求M 的另一个特征值及其对应的一个特征向量．

23. 难度：中等

C．（选修4-4：坐标系与参数方程）
在极坐标系中，A为曲线ρ²+2ρcosθ-3=0 上的动点，B为直线ρcosθ+ρsinθ-7=0 上的动点，求AB 的最小值．

24. 难度：中等

D．（选修4-5：不等式选讲）
设a₁，a₂，…a_n 都是正数，且 a₁•a₂…a_n=1，求证：（1+a₁）（1+a₂）…（1+a_n）≥2ⁿ．

六、解答题

25. 难度：中等

某射击小组有甲、乙两名射手，甲的命中率为，乙的命中率为P₂，在射击比武活动中每人射击发两发子弹则完成一次检测，在一次检测中，若两人命中次数相等且都不少于一发，则称该射击小组为“先进和谐组”；
（1）若，求该小组在一次检测中荣获“先进和谐组”的概率；
（2）计划在2011年每月进行1次检测，设这12次检测中该小组获得“先进和谐组”的次数ξ，如果Eξ≥5，求P₂的取值范围．

26. 难度：中等

已知，其中n∈N^*．
（1）若展开式中含x³项的系数为14，求n的值；
（2）当x=3时，求证：f（x）必可表示成（s∈N^*）的形式．