2013年高考数学压轴大题训练：函数图象的交点个数问题（解析版）

一、解答题

1. 难度：中等

出定义在（0，+∞）上的三个函数：f（x）=lnx，g（x）=x²-af（x），，已知g（x）在x=1处取极值．
（Ⅰ）确定函数h（x）的单调性；
（Ⅱ）求证：当1＜x＜e²时，恒有成立；
（Ⅲ）把函数h（x）的图象向上平移6个单位得到函数h₁（x）的图象，试确定函数y=g（x）-h₁（x）的零点个数，并说明理由．

2. 难度：中等

已知函数f（x）=x³+3ax-1，g（x）=f′（x）-ax-5，其中f′（x）是的f（x）的导函数．
（Ⅰ）对满足-1≤a≤1的一切a的值，都有g（x）＜0，求实数x的取值范围；
（Ⅱ）设a=-m²，当实数m在什么范围内变化时，函数y=f（x）的图象与直线y=3只有一个公共点．

3. 难度：中等

已知函数f（x）=x³-3ax-1，a≠0
（1）求f（x）的单调区间；
（2）若f（x）在x=-1处取得极值，直线y=m与y=f（x）的图象有三个不同的交点，求m的取值范围．

4. 难度：中等

已知函数f（x）=x²-alnx，g（x）=x-．
（1）若a∈R，求函数f（x）的极值；
（2）若函数f（x）在（1，2）上是增函数，g（x）在（0，1）上为减函数，求f（x），g（x）的表达式；
（3）对于（2）中的f（x），g（x），求证：当x＞0时，方程f（x）=g（x）+2有唯-解．

5. 难度：中等

已知函数f（x）=-x³+ax²+bx+c在（-∞，0）上是减函数，在（0，1）上是增函数，函数f（x）在R上有三个零点，且1是其中一个零点．
（1）求b的值；
（2）求f（2）的取值范围；
（3）试探究直线y=x-1与函数y=f（x）的图象交点个数的情况，并说明理由．

6. 难度：中等

已知函数f（x）=，函数g（x）=3（x-1）²．
（1）当a＞0时，求f（x）和g（x）的公共单调区间；
（2）当a＞2时，求函数h（x）=f（x）-g（x）的极小值；
（3）讨论方程f（x）=g（x）的解的个数．

7. 难度：中等

已知函数
（1）若函数f（x）在x=x₁，x=x₂处取得极值，且|x₁-x₂|=2，求a的值及f（x）的单调区间；
（2）若，求曲线f（x）与的交点个数．